7.Формы записи злп. Каноническая форма записи злп. Способы приведения злп к каноническому виду.

ЗЛП имеет несколько форм записи: 1)векторная f(x)=cx A₁x₁+A₂x₂+…+A_nx_n≤ (= ≥)B с=(с₁,с₂…с_n) – вектор строка. х=(х₁,х₂..х_n), А_j вектор столбцы А_j= , В-вектор столбец св членов. 2)матричная Ах≤ (= ≥)В х≥0, А-матрица коэфф. А= . 3)стандартная (все знаки одинаковые) b_j≥0 х≥0. 4)каноническая Ах=В. Любую ЗЛП можно привести к каноническому виду. Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:1)если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;2)если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;3)если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;4)если некоторая переменная x_j не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными.

8. Основы симплекс-метода: общая схема алгоритма метода. Понятие базиса системы векторов. Базисные и опорные решения системы линейных уравнений, переход от одного базисного решения к другому

Основное содержание симплексного метода заключается в следующем:

1. Указать способ нахождения оптимального опорного решения

2. Указать способ перехода от одного опорного решения к другому, на котором значение целевой функции будет ближе к оптимальному, т.е. указать способ улучшения опорного решения

3. Задать критерии, которые позволяют своевременно прекратить перебор опорных решений на оптимальном решении или следать заключение об отсутствии оптимального решения.

Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования

Для того, чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить следующее:

1. Привести задачу к каноническому виду

2. Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений)

3. Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода

4. Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается

5. Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения

Базисные и опорные решения системы линейных уравнений, переход от одного базисного решения к другому.

В процессе решения системы уравнений на некотором этапе получилась расширенная матрица вида:

( 10…0А'1r+1…А'1n | B'1)

А'= ( 01…0A'2r+1…A'2n | B'2 )

(………………………|……)

(00….1A'rr+1…A'r n | B'r )

Система совместна и имеет бесчисленное множество решений. Общее решение системы записывают:

Х1= В'1-А'1r+1*Xr+1 ------A'1n*Xn

X2=B'2- A'2r+1*Xr+1-------A'2n*Xn

----------------------------------------------

Xr= B'r - A'rr+1*Xr+1--------A'r n*Xn

Придавая каждой из стоящих в правых частях равенств переменных Xr+1, Xr+2,……, Xn; произвольные значения, получаем частные решения системы. Неизвестные Х1, Х2,…., Хr; называют базисными или основными, они соответствуют линейно-независимым векторам А1, …, Аr. Любые r – переменных называют базисными, если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля, а остальные (n-r) переменных называют свободными или не основными. Базисным решением системы уравнений называют частное решение, в котором не основные переменные имеют нулевые значения. Каждому разбиению на основные и не основные переменные соответствует одно базисное решение, а количество способов разбиения не превышает величины Сⁿⁿn=n! /m!*(n-m)!

Если все компоненты базисного решения не отрицательны, то такое решение называют опорным. Любое частное решение получается из общего путем придания конкретных значений свободным переменным