23. Симметрические многочлены. Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах.

Рассмотрим F[ . Многочлен S( ) называется симметрическим, если он не меняется при всевозможных перестановках неизвестных.

Элементарные симметрические многочлены:

Пусть f(x) = – многочлен и – его корни (в поле разложения). Тогда . Сравнивая коэффициенты при получаем : и т.д.

Формулы Виета.

Важно! Значения элементарных симметрических многочленов от корней многочлена выражаются через коэффициенты многочлена. Отметим, что , а = .

Основная теорема о симметрических многочленах. Любой симметрический многочлен f представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

Доказательство. Проведем индукцию по числу переменных.Б.И. n = 1. В этом случае все очевидно. Ш.И. Пусть n > 1. Индукция по степени многочлена f как многочлена от . Б.И. Степень равна 0. Тогда f( = const, поскольку он симметрический. Ш.И. Пусть степень f( от > 0. Рассмотрим многочлен f . Это тоже симметрический многочлен от . По предположению внешней индукции существует многочлен h такой, что (*) f =

= h( ). Рассмотрим многочлен g( ) = f( ) - h( ). Заметим, что g( ) = 0 в силу (*). По теореме Безу имеем, что g( ) делится на . Многочлен g( ) – симметрический, поэтому он делится и на Кольцо многочленов от n переменных над полем – область с однозначным разложение. Поэтому g( ) делится на , т.е. на . Итак, g( ) = p( ). Ясно, что степень p( ) (как многочлена от ) меньше чем степень g( ) и ясно, что p( ) – симметрический. Применим предположение индукции. Следовательно, f( ) = p( ) + h( ) выражается как многочлен от

Пример(иллюстрация) Представим как многочлен от и . Запишем f(x,0) = Берем h(x) = Теперь строим g(x,y) = f(x,y) – h Итак,

Следствие. Пусть некоторое рациональное выражение от корней многочлена( отношение двух многочленов) f(x) = - не меняется при перестановках корней. Тогда оно рационально выражается через коэффициенты f(x) = многочлена f(x).

Доказательство. Основная теорема + формулы Виета.

Пример (резольвента Феррари). Рассмотрим уравнение четвертой степени: Пусть – его корни. Рассмотрим выражения: При любой перестановке корней они переходят друг в друга. Рассмотрим уравнение . Его коэффициенты – элементарные симметрические функции от . ==> они не меняются при перестановках . Значит они выражаются через коэффициенты .

Пример (резольвента Эйлера). Матрица Адамара. - коэффициенты этого уравнения рационально выражаются через .

24. Лемма о модуле старшего члена. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Классификация неприводимых многочленов над полями комплексных и действительных чисел.

Теорема. У любого многочлена из [x] есть комплексный корень.

Лемма. Пусть f(x) = и Тогда, если |x| , то

Доказательство.

Д оказательство теоремы. Сначала докажем для f(x) Пусть n = deg f. Представим n в виде n = q, где k – нечетно. Индукция по k. Б.И. k = 0. n – нечетно. По лемме знак f(x) при больших положительных x совпадает со знаком старшего коэффициента, а при x отрицательных и больших по модулю знак f(x) противоположен знаку старшего коэффициента(n – нечетно). Поэтому к f(x) применима первая теорема Больцано – Коши. Ш.И. k > 0. Пусть – все корни многочлена f(x). Рассмотрим выражения где Их . Ясно, что перестановка приводит к перестановке . Рассмотрим Его коэффициенты – это элементарные симметрические функции от ==> они симметрические от ==> они выражаются через коэффициенты f(x) ==> g(x) deg g(x) = ==> к g(x) применимо предположение индукции. По предположению индукции нечетные

для некоторых . По принципу Дирихле существуют c,d , что при каких-то выражения – комплексные числа. Тогда - комплексные числа. Отсюда – корни уравнения . У квадратного уравнения с комплексными коэффициентами корни комплексные ==> . Рассмотрим многочлен у которого коэффициенты сопряжены с коэффициентами f(x). Тогда у многочлена f(x)* все коэффициенты действительны. По доказанному у f(x)* есть комплексный корень . Имеем * = 0, откуда либо f( ) = 0 (и тогда - корень f(x)), либо = 0 (тогда f( = 0). Теорема доказана.

Лемма Д’Аламбера.

Следствие 1. У каждого многочлена f(x) есть deg f(x) корней (если считать, каждый корень столько раз, какова его кратность).

Доказательство. Индукция по степени.

Следствие 2. Многочлен над неприводим тогда и только тогда, когда это многочлен первой степени.

Следствие 3. Многочлен над неприводим тогда и только тогда, когда это либо многочлен первой степени, либо квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом.

Доказательство. Достаточность очевидна. Необходимость. Пусть f(x) [x] – неприводим. По основной теореме у него есть комплексный корень и по теореме Безу f(x) делится на x – . Если , то f(x) = x – . Пусть . Тогда . Заметим, что 0 = откуда – тоже корень для f и f(x) делится на x - . Но тогда f(x) делится на Значит дискриминант равен .