14. Существование и однозначность разложения на неразложимые множители в евклидовых кольцах.

Основная лемма. Если p – неразложимый элемент евклидова кольца и p|ab, то p|a или p|b.

Доказательство. Допустим, что p a. Тогда НОД(p,a) = 1, т.к. p – неразложим. По теореме о НОД существуют такие x и y, что 1 = xp + ya. Умножим это равенство на b: b = xpb + yab. Оба слагаемых справа делятся на p ==> сумма делится на p.

Теорема. Разложение на неразложимые множители в евклидовом кольце однозначно с точностью до порядка множителей и ассоциированности.

Доказательство. Пусть элемент a разложен на неразложимые двумя способами. a = и a = . Мы должны доказать, что k = n, после перестановки множителей для всех = 1,…,k. Проведем индукцию по k + n. Б.И. k+n = 2. Очевидно. Ш.И. Пусть k + n > 2. Можно считать, что n > 1. Имеем . По основной лемме либо либо . В первом случае , во втором либо либо . В первом случае , во втором …. В конце концов получим, что для некоторого Сократим на , получим , и тут применимо предположение индукции. Для получаем основную теорему арифметики. Для F[x] получается, что любой многочлен однозначно разлагается на неприводимые. Неприводимость зависит от F. Например, неприводим над , но приводим над . неприводим над , но приводим над .

: 5 =

Ассоциированны

15. Поле частных области.

Пусть R – область. На множестве всех пар вида (a,b), где a R, b R\{0} рассмотрим отношение , определяемое так: (a,b) (c,d) <==> ad = bc. Заметим, что рефлексивно, симметрично и транзитивно.

1. (a,b) (a,b), т.к. ab = ba

2. (a,b) (c,d) ==> (c,d) (a,b). Действительно, если ad = bc, то da = cb.

3. (a,b) (c,d) и (c,d) (e,f) ==> (a,b) (e,f). ad = bc, cf = de. Умножим на f: adf = bcf = bde.

Можно сократить на d ≠ 0, получим af = be.

Дробь – класс эквивалентных пар. это дробь, содержащая пару (a,b). Мы докажем, что дроби образуют поле и что область R вкладывается в это поле. Q – множество классов эквивалентности. - класс, содержащий пару (a,b).

Определение и корректность операций.

1. Сложение.

2. Умножение.

Проверим корректность сложения: Пусть . Надо проверить, что . Равенство значает, что в R выполнено равенство (1) xb = ya, аналогично означает, что (2) zd = tc. Умножим (1) на td, а (2) на yb. Получим соответственно (3) xbtd = yatd, (4) zdyb = tcyb. Сложим (3) и (4): (xt + zy)bd = (ad + cb)yt. Это равенство и есть то, что мы должны доказать.

Проверим корректность умножения. Надо проверить, что . Перемножим (1) и (2),

xzbd = xbzd = yatc = ytac. Это и означает, что .

Проверим аксиомы поля.

3. Заметим, что для любых b и c. Действительно, 0*c = b*0, т.к. и то и другое равно 0. Обратно, если , то a = 0. Действительно, ac = 0*b = 0, но c ≠ 0, значит a = 0. Итак, все пары с нулевым числителем образуют отдельный класс. Этот класс и будет нулем в Q.

4. Для противоположным будет . Действительно,

7. Докажем, что для любых a и b ≠ 0. Это следует из равенства ab = ab. Обратно, если , то b = c. Действительно, из следует, что ac = ab или a(c - b) = 0, отсюда c – b = 0(т.к. c≠0), т.е.c = b. Этот класс играет роль единицы.

8. Для обратным будет Действительно,

10. Очевидно.

Итак, Q – поле. Почему R – часть Q? Для любого a R рассмотрим дробь Q. Ясно, что соответствие a --> взаимно однозначно и сохраяет операции: a + b --> , ab --> . Отождествим R с множеством дробей вида , где a R. Можно считать, что R Q (R Q)

Пример. ; F[x] R[x] (поле рациональных функций)