12. Евклидовы кольца. Евклидовость кольца целых гауссовых чисел.

Область R называется Евклидовым кольцом, если существует функция :R-->ℕ

такая, что выполнены две аксиомы:

1. , если b ≠ 0

2. Если a,b R, b ≠ 0, то существуют q,r R: a = qb + r, и <

Примеры

1. ;

2. F[x]; (f(x)) = deg f(x)

3. [i] – целые гауссовы числа – комплексные числа вида a + bi, где a,b . Положим

(a + bi) = . Проверим аксиомы 1 и 2.

1. Пусть z,t [i], t ≠ 0; (zt) = =

2. Пусть z,t [i], t ≠ 0; Поделим z на t. Пусть k – ближайшее целое к , а -

Б лижайшее целое к Тогда можно утверждать, что

Подсчитаем

Лемма. Пусть R - евклидово кольцо, b – необратимый элемент в R. Тогда для любого a ≠ 0.

Доказательство. Поделим a на ab с остатком. a = qab + z, где по второй аксиоме. a(1 – qb) = r. Если 1 – qb ≠ 0, то по первой аксиоме, т.е. . Отсюда

Предложение. В евклидовом кольце каждый необратимый элемент представим в виде произведения неразложимых.

Доказательство. Пусть a R \ 0 – необратимый элемент. Если a неразложим, доказывать нечего. В противном случае a = bc, где a b, a c. Тогда b и c – необратимы. По лемме Продолжая этот процесс, разложм b и c на множители с меньшим значением и т.д. Процесс остановится по свойствам ℕ.

13. Теорема о наибольшем общем делителе в евклидовых кольцах. Алгоритм Евклида.

Элемент d называется наибольшим общим делителем a,b R, если d|a, d|b и для любого c: (c|a & c|b) --> c|d

Теорема о НОД. Пусть R – евклидово кольцо. Тогда для любых a,b R существует их НОД d и его можно представить в виде d = xa + yb, для некоторых x и y R.

Доказательство. Можно считать, что ab ≠ 0. Рассмотрим множество и пусть d – ненулевой элемент из с наименьшим значением функции . Проверим, что d|a. Поделим с остатком: a = qd + r, где . Имеем r = a – qd = a – q(xa + yb) = (1 – xq)a +

+(-yq)b ==> r = 0, т.е. d|a (a = qd). Аналогично d|b. Если c|a и c|b, то c|xa + yb для всех x и y, т.е. c|b.

Пример. не является евклидовым.

Доказательство. Рассмотрим многочлены 2 и x. Ясно, что НОД(2,x) = 1. Если бы было евклидовым, то 1 = 2f(x) + xg(x). Это равенство невозможно, т.к. у правой части свободный член четный.

Алгоритм Евклида. Поделим a на b с остатком. a = qb + r, где . Если r = 0, то НОД(a,b) = b. В противном случае поделим b на r с остатком. b = . Если

= 0, то НОД(a,b) = r. В противном случае поделим r на с остатком r = , Если = 0, то НОД(a,b) = . В противном случае … Процесс обязательно закончится, т.к. строго убывает, а в ℕ нет бесконечных строго убывающих последовательностей. НОД(a,b) = , где - последний ненулевой остаток.

Пример.НОД(525, 231) = 21

525|231

462|2

231|63

189|3

63|42

42|1

42|21

42|2

0