10. Кольцо многочленов. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов над полем.

Множество R – кольцо, если его элементы можно складывать и перемножать, и при этом выполнены аксиомы:

1. a+b = b+a

2. (a+b)+c = a+(b+c)

3. Существует 0, a+0 = a

4. Для любого a существует b, a+b = 0

5. (a+b)c = ac+bc, a(b+c) = ab+ac

Если умножение коммутативно, то R - коммутативное кольцо. Если умножение ассоциативное, то R – ассоциативное кольцо. Если в R существует такой элемент 1, что

a = a*1 = 1*a для всех a, то R – кольцо с единицей. Элемент a кольца R называется

делителем нуля, если a ≠ 0 и существует b ≠ 0 такое, что ab = 0 или ba = 0.

Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью.

Пусть R – область, а x – символ, не лежащий в R. Назовем многочленом от x над R выражение вида: , где R. Многочлены от x над R составляют множество, обозначаемое R[x]. Определим операции сложения и умножения на R[x] так:

Сложение: (

Умножение: (

,где

Можно проверить, что если R – кольцо, то R[x] – кольцо, и если R ассоциативно, коммутативно и с единицей, то и R[x] таково.

Степень многочлена – это наибольший индекс k со свойством, что ≠ 0 – старший коэффициент. Если такого коэффициента нет, удобно считать степень равной - . Будем обозначать степень многочлена f(x) через deg f(x). deg 0 = - ; deg 1 = 0; deg (

Из определения умножения следует, что если R – область, то deg(fg) =deg f + deg g и старший коэффициент fg равен произведению старшего коэффициента f на старший коэффициент g. В частности, если R – область, то и R[x] – область.

Деление с остатком. R = F(поле).

Теорема. Пусть f(x), g(x) F[x] и g(x) = 0. Тогда существует и единственно представление f(x) в виде f(x) = q(x)*g(x) + r(x), где deg r(x) < deg g(x).

Доказательство. Существование. Пусть deg f(x) = k, deg g(x) = n. Допустим, что k<n. Тогда требуемое представление выглядит так: f(x) = 0*g(x) + f(x). Пусть n<k. Проведем индукцию по k-n. Б.И. k-n = 0. В этом случае f = , g = , где и ≠ 0. Возьмем в качестве q(x) = а в качестве r(x) – многочлен f(x) - g(x). Тогда f(x) = q(x)*g(x)+r(x) и deg r(x) < k. Ш.И. Пусть k-n > 0. f(x) = , g(x) = . Рассмотрим h(x) = f(x) - g(x), deg h(x) < k. Для многочлена h(x) утверждение справедливо (по предположению индукции). Итак, h(x) = (x)g(x)+r(x), где deg r(x) < n. Отсюда f(x) = h(x) + g(x) = ( (x))g(x)+r(x)

Единственность.

Пусть f(x) = (x)g(x)+ (x), f(x) = (x)g(x)+ (x), где deg (x), q(x)

deg (x) < deg g(x). Тогда (x) - (x) = g(x)*( (x) - (x))

степень < deg g(x) Степень deg g(x)

Отсюда (x) - (x)=0 и (x) - (x)=0 --> (x)= (x)

11. Основные понятия теории делимости. Отношение ассоциированности.

Пусть R – область. Скажем, что a≠0 делит b(a|b), если существует такой x R, что ax=b.

Свойства отношения делимости.

1. Отношение делимости рефлексивно (a|a)

2. Отношение делимости транзитивно(a|b & b|c --> a|c)

a|b --> существует x: ax=b, b|c --> существует y: by=c. Умножим первое равенство на y:

axy = by = c, т.е. a|c

3. Если a|b & a|c --> a|(b + c)

4. Если a|b --> a|bc

Элемент u R называется обратимым, если u|1. a,b R называются ассоциированными, если a|b и b|a (a b). - отношение ассоциированности.

1. рефлексивно (a a)

2. симметрично (a b --> b a)

3. транзитивно (a b & b c -->a c)

Итак, - отношение эквивалентности.

4. a b  существует u обратимый такой, что au = b

Доказательство. Если a b, то существует x, ax = b и существует y: by = a. Отсюда axy = a или a(xy - 1) = 0 ==> xy-1 = 0, т.е. xy = 1 и x – обратимый элемент. Обратно, если au = b, то a|b. Пусть v таков, что uv = 1. Умножая, имеем auv = bv, т.е. b|a. (auv = a)

R – область. p R – называется неразложимым, если он не является обратимым и из того, что p = ab, следует, что p a или p b. Для R = принято называть неразложимые элементы простыми, а для R = F[x] – неприводимыми. Область R называется областью с однозначным разложением, если любой необратимый элемент a R представим в виде произведения неразложимых элементов и это разложение однозначно с точностью до порядка множителей и их ассоциированности, т.е. если a = и a = , где все - неразложимы, то k = n и после перестановки сомножителей имеем .

Рассмотрим кольцо четных чисел. 60 = 6 *10 = 2 *30