СОДЕРЖАНИЕ
1. Задача 1 3
1.1 Построение экономико-математической модели задачи 4
1.2 Построение матрицы модели 4
1.3 Решение задачи графическим методом 5
1.4 Решение задачи симплексным методом 6
1.5 Решение задачи на ПК в пакете SIMPLEX 13
1.6 Решение задачи на ПК с помощью надстройки полок решения в EXCEL 13
2. Задача 2
2.2 Решение методом потенциалов 14
2.3 Решение задачи в пакете PER 23 Библиография 24 Приложения 25
Задача 1.
Переписать условия задачи.
Построить экономико-математическую модель задачи.
Построить матрицу модели.
Решить задачу графическим методом.
Решить задачу симплексным методом.
Решить задачу на ПК в пакете SIMPLEX (приложить распечатку протокола решения).
Решить задачу на ПК с помощью надстройки полок решения в среде EXCEL (приложить распечатку протокола решения).
Сформулировать краткие выводы по результатам решения задачи (выполнить экономический и экономико-математический анализ оптимальности плана).
Издательский дом "Геоцентр- Медиа" издает два журнала: "Автомеханик" и "Инструмент", которые печатаются в трёх типографиях: "Алмаз- Пресс", "Карелия- Принт" и "Hansprint" (Финляндия), где общее количество часов, отведеннное для печати, и производительность печати одной тысячи экземпляров ограничены.
Типография |
Время печати одной тыс. экземпляров, ч |
Ресурс времени, отведенный типографией, ч |
|
"Автомеханик" |
"Инструмент" |
||
"Алмаз- Пресс" |
2 |
14 |
112 |
"Карелия- Принт" |
4 |
6 |
70 |
"Hansprint" |
6 |
4 |
80 |
Оптовая цена за 1 экземпляр, руб. |
25 |
35 |
|
Определить оптимальное количество издаваемых журналов, которые обеспечат максимальную выручку от продаж, если спрос на журнал "Автомеханик" превышает 5 тыс. экземпляров в месяц.
Решение.
Построение экономико-математической модели задачи.
Переменные.
Х1 – количество журнала "Автомеханик", тыс. шт.;
Х2 – количество журнала "Инструмент", тыс. шт.
Ограничения.
1. По наличию и использованию ресурса времени в типографии "Алмаз- Пресс", ч.
2Х1 + 14Х2 ≤ 112
2. По наличию и использованию ресурса времени в типографии "Карелия- Принт", ч.
4Х1 + 6Х2 ≤ 70
3. По наличию и использованию ресурса времени в типографии "Hansprint", ч.
6Х1 + 4Х2 ≤ 80
4. По спросу на журнал "Автомеханик", тыс. шт
Х1 ≥ 5
Х1 ≥0, Х2 ≥0
Целевая функция- максимальная выручка от продаж, руб. тыс.
Z = 25Х1 + 35Х2→ max
Хj ≥0, j=(1,2)
1.2 Построение матрицы модели.
Таблица 1. Матрица модели.
п/п |
Ограничения |
Еден. измер. |
Журнал "Автомеханик" |
журнал "Инструмент" |
Тип огр. |
Объем огранич-я |
Х1 |
Х2 |
|||||
1 |
По наличию и использованию ресурса времени в типографии "Алмаз- Пресс" |
час. |
2 |
14 |
≤ |
112 |
2 |
По наличию и использованию ресурса времени в типографии "Карелия- Принт" |
час. |
4 |
6 |
≤ |
70 |
3 |
По наличию и использованию ресурса времени в типографии "Hansprint" |
час. |
6 |
4 |
≤ |
80 |
4 |
По спросу на журнал "Автомеханик" |
тыс. шт. |
1 |
- |
≥ |
5 |
Z |
Максимизация |
руб. |
25 |
35 |
→ |
max |
1.3 Решение задачи графическим методом.
2
Х1
+ 14Х2
≤ 112
4Х1 + 6Х2 ≤ 70
6Х1 + 4Х2 ≤ 80
Х1 ≥ 5
Хj ≥0, j=(1,2)
Строим ограничения.
2Х1 + 14Х2 = 112
4Х1 + 6Х2 = 70
6Х1 + 4Х2 = 80
Х1 = 5
Строим график
Найдем область допустимых решений.
ОДР = АВСDE
Строим направляющий вектор.
N (C1;C2); Z= C1Х1 + С2Х2
N (25;35)
5) Построим линию
уровня Z0.
25Х1
+ 35Х2
= 0,
Z0 N
Найдем точку максимума.
Точка максимума – точка D (10;5),
Zmax = ZB =25*10+35*5=250+175=425
Вывод: для получения максимальной выручки от продажи в сумме 425 тыс. руб. необходимо производить 10 тыс. шт. журнала "Автомеханик" и 5 тыс. шт. журнал а "Инструмент".
1.4 Решение задачи методом SIMPLEX вручную.
Решение.
Приведем задачу к каноническому виду.
2 Х1 + 14Х2 + Х3 = 112
4Х1 + 6Х2 + Х4 = 70
6Х1 + 4Х2 + Х5 = 80
Х1 - Х6 = 5
Хj ≥0, j=(1,6)
Z = 25*X1 + 35*X2 + 0*X3 + 0*X4 + 0*X5 - 0*X6 → max
Строим
вспомогательную задачу.
2Х1 + 14Х2 + Х3 = 112
4 Х1 + 6Х2 + Х4 = 70
6 Х1 + 4Х2 + Х5 = 80
Х1 - Х6+ Х7 = 5
Хj ≥0, j=(1,7)
Z = 25*X1 + 35*X2 + 0*X3 + 0*X4 + 0*X5 - 0*X6 + 0*X7 М→ max
Итерация 1.
Шаг 1.
В
ыписываем
исходное допустимое базисное решение
и вычисляем соответствующее ему значение
целевой функции.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
Х1 = 0 0 112 70 80 0 5
Z = 25*0 + 35*0 + 0*112 + 0*70 + 0*80 -0*0 – 5*М = - 5М
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
Пусть ∆Х1 = 1
Тогда ∆Х3 = -2
∆Х4 = -4
∆Х5 = -6
∆Х7 = -1
∆Z = 25*1 + 35*0 + 0*(-2) + 0*(-4) + 0*(-6)- 0*0 + (- 1)*(-М)=25 + М > 0
Вывод по шагу 2 : Х1 не оптимальное. Переменную Х1 целесообразно ввести в базис, так как значение целевой функции увеличивается.
Шаг 3.
Определяем, какая из прежних базисных переменных должна быть введена в базис и то уравнение, в котором это произойдет.
112 ÷ 2 =56
70 ÷
4=
80 ÷
6 =
500 ÷ 1 = 5 (*)
Вывод по шагу 3: новая базисная переменная Х1 будет в четвертом уравнении, тогда прежняя переменная Х7 будет выведена из базиса.
Шаг 4.
Пересчет системы линейных уравнений с учетом нового состава базисных переменных.
+14Х2
+ Х3
+ 2Х6
- 2Х7
= 102
+ 6Х2 + Х4 + 4Х6 - 4Х7 = 50
+ 4Х2 + Х5 + 6Х6 - 6Х7 = 50
Х1 - Х6 + Х7 = 5
Итерация 2.
Шаг 1.
Выписываем исходное допустимое базисное решение и вычисляем соответствующее ему значение целевой функции.
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Х2 = 5 0 102 50 50 0 0
Z2 = 25*5 + 35*0 + 0*102 + 0*50 + 0*50 - 0*0 + М*0 = 125
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
Пусть ∆Х2 = 1
Тогда ∆Х3 = - 14
∆Х4 = - 6
∆Х5 = - 4
∆Х1 = -
∆Z = 25*0 + 35*1 + 0*(- 14) + 0*(- 6) + 0*(-4)-0*0- 0*М = 35 > 0
Вывод по шагу 2: Х2 не оптимальное , переменную Х2 целесообразно ввести в базис, так как значение целевой функции увеличивается.
Шаг 3.
Определяем, какая из прежних базисных переменных должна быть введена в базис и то уравнение, в котором это произойдет.
102 ÷ 14 = 
(*)
50 ÷ 6 = 
50 ÷ 4 = 
5 ÷ 1 = -
Вывод по шагу 3: новая базисная переменная Х2 будет в первом уравнении, тогда прежняя Х3 будет выведена из базиса.
Шаг 4.
П
ересчет
системы линейных уравнений с учетом
нового состава базисных переменных.
Х2
+ 
Х3
+ 
Х6
-
Х7
= 
-
Х3
+ Х4
+
Х6
-
Х7
= 
-
Х3
+
Х5
+ 
Х6
-
Х7
= 
Х1 - Х6 + Х7 = 5
Итерация 3.
Шаг 1.
В
ыписываем
исходное допустимое базисное решение
и вычисляем соответствующее ему значение
целевой функции.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
Х3 = 5 0 0 0
Z3
= 25*5 + 35*
+ 0*0 + 0*
+ 0*
+ 0*0 + 0*0 = 
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
Пусть ∆Х3 = 1
Тогда ∆Х2 = -
∆Х4 =
∆Х5 =
∆Х1 = -
∆Z
= 25*0 + 35* (-
) + 0*1 + 0*
+ 0*
-0*0- 0* М= - 
< 0
Вывод: переменную Х3 нецелесообразно вводить в базис, так как значение целевой функции от этого уменьшается.
Шаг 2 продолжается.
Пусть ∆Х6 = 1
Тогда ∆Х2 = -
∆Х4 = -
∆Х5 = -
∆Х1 = 1
∆Z = 25*1 + 35* (- ) + 0*0 + 0* (- ) + 0* (- )- 0*1-М*0 = 20> 0
Вывод по шагу 2: Х6 не оптимальное , переменную Х6 целесообразно ввести в базис, так как значение целевой функции увеличивается.
Шаг 3.
Определяем, какая из прежних базисных переменных должна быть введена в базис и то уравнение, в котором это произойдет.
:
=
:
=
(*)
:
=
5:(-1)=-5
Вывод по шагу 3: новая базисная переменная Х6 будет во втором уравнении, тогда прежняя Х4 будет выведена из базиса.
Шаг 4.
П
ересчет
системы линейных уравнений с учетом
нового состава базисных переменных.
Х2
+
Х3 -
Х4
=
7
- 
Х3 +
Х4 +
Х6 -Х7
=2
+ 
Х3 +
Х4 +
Х5
=10
Х1 - Х3 + Х4 =7
Итерация 4.
Шаг 1.
В ыписываем исходное допустимое базисное решение и вычисляем соответствующее ему значение целевой функции.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
Х4 = 7 7 0 0 10 2 0
Z4 = 25*7 + 35*7+ 0*0+ 0*0+ 0*10+ 0*2- 0*0=420
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
Пусть ∆Х3 = 1
Тогда ∆Х2 = -
∆Х6 =
∆Х5 = -
∆Х1 =
∆Z
= 25*
+ 35* (-
)
+ 0*1 + 0*0 + 0* (-
)-0*
- 0* М= 
>0
Шаг 3.
Определяем, какая из прежних базисных переменных должна быть введена в базис и то уравнение, в котором это произойдет.
7: = 77
2: (- ) = -
10: = 22 (*)
7: (- ) = -
Шаг 4.
Пересчет системы линейных уравнений с учетом нового состава базисных переменных.
Х2
+ 
Х4
- 
Х5
=5
- 
Х4
- 
Х5+
Х6
- Х7=5
Х3
- 
Х4
+ 
Х5
=22
Х1 - Х4 - Х5 =10
Итерация 5.
Шаг 1.
В ыписываем исходное допустимое базисное решение и вычисляем соответствующее ему значение целевой функции.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
Х5 = 10 5 22 0 0 5 0
Z = 25*10 + 35*5 + 0*22 + 0*0 + 0*0 -0*5 – 0*0 = 425
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
Пусть ∆Х4 = 1
Тогда ∆Х2 = -
∆Х6 =
∆Х3 =
∆Х1 =
∆Z
= 25*
+ 35*(-
)
+ 0*
+ 0* 1 + 0* 0- 0*
+ 0*0= -
<
0
Вывод: переменную Х4 нецелесообразно вводить в базис, так как значение целевой функции от этого уменьшается.
Шаг 2 продолжается.
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
Пусть ∆Х7 = 1
Тогда ∆Х6 = 1
∆Z = 25* 0+ 35*0 + 0* 0+ 0* 0 + 0*0- 0* 1- М*1= -М < 0
Вывод: переменную Х7 нецелесообразно вводить в базис, так как значение целевой функции от этого уменьшается.
Общий вывод по шагу 2: Х5 – оптимальное решение,
Х1 = 10,
Х2 =5,
Z = 425
Анализ результатов решения.
1. Экономический анализ:
- необходимо производить журнала "Автомеханик" 10 тыс.шт. ;
- необходимо производить журнала "Инструмент" 5 тыс.шт. ;
- при этом получим максимальную прибыль от продаж 425 тыс.руб.