Применение закона Био-Савара-Лапласа для расчета полей:

1. М агнитное поле в центре кругового проводника с током. Все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Т.к. все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно , то . Тогда . Получаем , где радиус кривизны проводника.

2. М агнитное поле на оси кругового тока. Выберем элемент тока в точке А он создаст поле . В силу симметрии суммарный вектор направлен вдоль оси , т.е. для нахождения модуля вектора надо сложить проекции всех векторов на ось . . Интегрируя это выражение по всем и учитывая, что , получаем , т.е. , где радиус кругового контура с током, расстояние от точки, где ищется напряженность, до плоского контура.

3. М агнитное поле прямого тока – тока, текущего по тонкому прямому проводнику бесконечной длины. В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние , векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол угол между векторами и , выразив через него все остальные величины: , (т.к. угол очень мал), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна . Т.к. угол для всех элементов изменяется в пределах от до , то . Магнитная индукция .

П ример: найдем магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника. По закону Био-Савара-Лапласа . Радиус-вектор направлен от элемента провода к точке, в которой вычисляется индукция поля. Выразим длину элемента проводника через . По чертежу , но величина переменная, зависящая от : . или .

П ри симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция и , где длина отрезка проводника.

Пример. По двум прямолинейным параллельным противоположно направленным бесконечно длинным проводникам, находящимся на расстоянии , текут токи и . Найти напряженность магнитного поля, вызванного этими токами, в точках . Расстояния от проводников до точек равны: , , . Точки лежат на прямой, соединяющей проводники.

РЕШЕНИЕ. Согласно принципу суперпозиции напряженности , и магнитного поля в точках складываются из напряженностей, создаваемых токами и . , и . Напряженность , а магнитная индукция проводника , тогда , где расстояние от проводника с током до точки, где определяется напряженность. Тогда , ,

Магнитный поток, теорема Гаусса для магнитного поля.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку наз. скалярная величина , где угол между векторами (вектор нормали к плоскости контура) и .

Единица: вебер (Вб). .

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору : . Магнитный поток сквозь поверхность с площадью находится алгебраическим суммированием потоков сквозь участки поверхности.

Задача 2. В магнитном поле с индукцией 0,1 Т расположен стержень длиной 1 м, который вращается перпендикулярно к направлению линий магнитной индукции. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить поток магнитной индукции сквозь поверхность, которую образует стержень при каждом обороте.

Д ано: Решение:

Поток магнитной индукции при равен , т.е. ,

, ,

Ответ:

Т еорема Гаусса: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю: .

Э та теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.