§ 3. Работа и энергия. Работа.

Работа – мера действия силы.

Опр. 1.3.1. Работой называется скалярное произведение силы на перемещение, пройденное точкой под действием этой силы. Для

а) постоянной силы , где угол между направлением действия силы и вектором перемещения.

б ) переменной силы: пусть сила не постоянна и движение происходит по криволинейному пути на конечном участке. Тогда путь разобьем на столь малые дуги , что их можно считать совпадающими с хордами . Пусть составляющая си-лы вдоль касательной к дуге , тогда на отрезке значение можно считать постоянным, а работа, совершенная на этом отрезке . Выполняя затем суммирование и переходя к пределу, получим выражение для работы в виде интеграла , (1.3.1)

где 1 и 2 — координаты начальной и конечной точек пути.

Единицей энергии и работы является 1 джоуль (Дж) – работа, совершаемая силой в 1Н на пути в 1м.

1. Рассмотрим работу упругих сил. Пусть один конец пружины прикреплен к стене. Пружина под действием силы растянута на величину . Определить работу, совершаемую при растяжении пружины, если длина нерастянутой пружины .

Е сли деформация мала, то для растяжения пружины необходимо приложить силу . Будем считать, что растягивается пружина медленно и ее ускорение равно нулю. Приложенная к пружине сила параллельна оси пружины, следовательно .

2. Рассмотрим работу в гравитационном поле. Пусть две взаимодействующие материальные точки с массами и сближаются с расстояния до расстояния . Найти работу сил гравитационного поля.

С

Рис. 1.3.2

ила притяжения двух материальных точек . Тогда .

Если же материальная точка массы , находящееся в гравитационном поле тела массой и радиуса , приблизится к нему на расстояние , то .

Если материальная точка находится вблизи поверхности Земли , то и

Пример 1.3.1. Вычислить работу, совершаемую на пути равномерно возрастающей силой, если в начале пути сила , а в конце пути .

Р Дано: , , ешение:

Т .к. сила нарастает равномерно, то уравнение силы . Найдем коэффициент . По условию задачи . Работа вычисляется по формуле: , (сила направлена в сторону

перемещения тела и ). Получаем .

Ответ: .

Мощность.

Опр. 1.3.2. Мощностью называется скалярная величина, характеризующая быстроту совершения работы и равная элементарной работе, совершаемой в единицу времени:

а) средняя за время : (1.3.2)

б) мгновенная: . (1.3.3)

В случае произвольного движения абсолютно твердого тела результирующая мощность равна алгебраической сумме всех сил, действующих на тело: (1.3.4)

Единица мощности – 1 ватт (Вт) – мощность, при которой за 1с совершается работа в 1 Дж.

Энергия.

Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействий. Для количественной характеристики различных форм движения, рассматриваемых в физике, вводятся соответствующие им виды энергии: механическая, тепловая, электромагнитная, атомная, внутренняя и другие.

Опр.1.3.3. Механической энергией называется скалярная величина, характеризующая способность тела совершать работу. В механике энергию разделяют на кинетическую и потенциальную.

Опр. 1.3.4. Кинетическая энергия – энергия, обусловленная движением тела; характеризует способность тела совершать работу за счет изменения скорости движения.

Для материальной точки , откуда работа, совершаемая внешними силами, действующими на тело, , (1.3.5)

где - кинетическая энергия точки, движущейся поступательно, т.е. изменение кинетической энергии материальной точки равно работе, произведенной над этой точкой.

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в его состав: , где масса малого элемента тела.

Опр. 1.3.5. Потенциальная энергия – энергия, обусловленная взаимодействием между телами, зависит от положения тела, характера сил взаимодействия тела с другими телами; характеризует способность тела совершить работу за счет изменения своего положения. Потенциальную энергию можно рассматривать как запасенную энергию, которую можно превратить в работу.

Потенциальная энергия обычно является функцией координат U=U(r).

Работа и потенциальная энергия связаны между собой соотношением , т.е. работа выполняется за счет уменьшения потенциальной энергии. Это справедливо только в том случае, если работа силы по замкнутому пути равна нулю или, другими словами, работа силы не зависит от траектории движения тела, а определяется только положением начальной и конечной точек. Такие силы называются консервативными. Для консервативных сил и

или

Силы тяготения и упругости являются консервативными; силы трения - неконсервативными. Поля консервативных сил называются потенциальными полями.

Опр. 1.3.6. Полной механической энергией тела называется сумма кинетической и потенциальной энергий .

Закон сохранения и превращения энергии: при любых процессах в замкнутых механических системах, где действуют только консервативные силы, полная энергия системы не изменяется .

Закон сохранения энергии можно сформулировать не только для замкнутых, но и для открытых систем, где действуют внешние силы. При этом работа внешних сил сводится к изменению энергии системы .

Если в системе действуют неконсервативные силы, например, силы трения, то полная механическая энергия системы может изменяться, превращаясь в другие виды (тепловую, химическую и т.д.). Рассматривая неконсервативные силы как внешние, можно записать , т.е. изменение энергии системы равно работе неконсервативных сил.

В более широком смысле, если рассматривать все возможные виды энергии, полная энергия замкнутой системы всегда сохраняется. Можно сказать, что энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии.

Рассмотрим применение закона к расчету

1. скорости поступательного движения тел после абсолютно неупругого (после удара тела движутся с одной и той же скоростью) прямого центрального (центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара) удара. Пусть мы имеем два тела с массами и , движущимися навстречу друг другу со скоростями и . По закону сохранения импульса и скорость тел после удара .

В этом случае кинетическая энергия системы частично преобразуется в ее внутреннюю энергию.

2. скорость поступательного движения тел после абсолютно упругого (механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии) прямого центрального удара. Пусть мы имеем два тела с массами и , движущимися навстречу друг другу со скоростями и . По закону сохранения импульса , по закону сохранения механической энергии , тогда совместное решение уравнений дает скорости тел после удара и .

П ример 1.3.2. Ш

Дано:

ар массой , движущийся горизонтально с некоторой скоростью, столкнулся с неподвижным шаром массы . Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю кинетической энергии первый шар передал второму?