Решение:

Выберем систему координат так, чтобы начало отсчета совпа-дало с вершиной конуса, а ось направлена вдоль оси симметрии. При этом . Центр масс будет располагаться на оси симметрии. Пусть конус имеет радиус основания . Чтобы найти координату , разобьем конус на бесконечное число цилиндров высотой . Масса каждого такого цилиндра равна , где плотность вещества однородного конуса. Получаем . Исходя из подобия треугольников, образованных образующей конуса, и радиусами и , получаем: и . Масса конуса и .

Ответ: .

Второй закон Ньютона.

Второй закон Ньютона дает основные уравнения для решения задач динамики точки.

Второй закон Ньютона ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально действующей на нее силе .

Замечание 1.2.3. Если на материальную точку действуют несколько сил, то под силой следует понимать равнодействующую всех этих сил.

Используя понятие импульса, второй закон Ньютона можно записать в виде (1.2.4)

Проектируя векторное равенство на оси декартовой прямоугольной системы координат, получаем дифференциальные уравнения движения материальной точки в этой системе координат: ; ; ; где ; ; - координаты точки в момент времени , а проекции действующей силы на соответствующие оси. Модуль силы .

Третий закон Ньютона.

Третий закон Ньютона дополняет II закон Ньютона и определяет взаимодействие между материальными точками (телами).

Третий закон Ньютона: всякое действие мате­риальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которы­ми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны но модулю, противо­положно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: , (1.2.8)

где - сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; — сила, действующая на вторую мате­риальную точку со стороны первой (или и — силы, с которыми взаимодействуют две материальные точки).

Вывод: третий закон Ньютона позволяет осу­ществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Опр. 1.2.5. При рассмотрении какой-либо системы материаль­ных точек или тел силы, действующие на некоторую точку (тело) системы со стороны других точек (тел), вхо­дящих в эту систему, называются внутренними силами. Силы же, обусловленные действием материальных точек или тел, не входящих в рассматриваемую систему, назы­ваются внешними силами.

Опр. 1.2.6. Замкнутой или изолированной системой назы­вается такая система тел (или материальных точек), на каждое из которых не действуют внешние силы.

Используя второй и третий законы Ньютона, можно получить основной закон динамики поступательного движения системы материальных точек (тела) .

Производная по времени импульса системы материальных точек (тела) равна равнодействующей внешних сил (т.к. равнодействующая внутренних сил по третьему закону равна нулю). Таким образом, только внешние силы могут изменить импульс тела.

Т.к. для системы материальных точек , то .

Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредото­чена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остает­ся неподвижным.

Основной закон динамики поступательного движения: производная по времени от импульса системы материальных точек относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета равна равнодействующей всех внешних сил, приложенных к системе: или , где ускорение центра инерции системы, ее масса.

Пример 1.2.3. Материальная точка массой 0,5 кг совершает движение согласно уравнениям . Определить величину и направление силы, действующей на точку, в момент времени .