Р ешение:

1) Положение точки, движущейся по прямой, можно найти, подставив в уравнение движения заданное значение времени:

м, м.

2) Средняя скорость: .

3) Мгновенная скорость: . Подставим значения времени и получим: , .

4) Среднее ускорение: .

5) Мгновенное ускорение: . Подставим значения времени: , .

Пример 1.1.2. Машина идет по закругленному шоссе с ускорением . Уравнение движения автомобиля . Найти скорость машины, ее тангенциальное и нормальное ускорение в момент времени , а также радиус кривизны шоссе.

Р Дано: , ешение:

П о определению мгновенной скорости .

По определению - тангенциальное ускорение постоянно по величине, т.е. движение машины равнозамедленное. Полное ускорение . Т.к. -радиус кривизны траектории в момент времени . Направление полного ускорения можно определить как угол, образуемый полным ускорением с направлением нормального ускорения .

Ответ: , , , .

Пример 1.1.3. Автомобиль движется по выпуклому мосту. Траектория движения автомобиля изменяется по закону , м; время t - в секундах. Определить скорость и ускорение центра масс автомобиля в тот момент времени, когда он находится на вершине моста, а радиус кривизны траектории .

Р Дано: ешение:

М гновенная скорость . По определению ускорения , , где радиус кривизны траектории в данный момент времени. Определим момент времени , когда автомобиль находится на вершине моста, т.к. в этот момент времени скорость автомобиля достигает минимума и . , . Т.о. скорость на вершине моста . Полное ускорение . Направление полного ускорения совпадает с направлением нормального ускорения, т.е. вектор направлен вертикально вниз.

Ответ: , .

Пример 1.1.4. Даны уравнения движения точки (время t - в секундах) . Найти радиус кривизны траектории в точке, где скорость движения точки .

Р Дано: ешение:

Н айдем проекции скорости движения точки на оси координат , , . Модуль вектора скорости выражается через проекции: . Возведем в квадрат правую и левую части уравнения и получим корни уравнения: - (не имеет смысла) и . Получаем время .

Найдем проекции ускорения на оси координат , , . Модуль вектора полного ускорения: . По определению . Полное ускорение нормальное ускорение . Радиус кривизны в данной точке .

Ответ: .

Пример 1.1.5. Определить скорость, ускорение и зависимость пути от времени, если ускорение тела обратно пропорционально скорости и направлено в сторону, противоположную ей.

Р Дано: ешение:

П о определению ускорения ; . Проинтегрируем обе части равенства: . Выражение для скорости имеет вид: ; для ускорения . Постоянная интегрирования определяется из условия при , откуда . С учетом получаем ; . По определению мгновенной скорости . Находим . Постоянная интегрирования определяется из условия при , откуда . Окончательно . Ответ: ; ; .

Вращение тела вокруг неподвижной оси.

При вращательном движении абсолютно твердого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат на о

Рис. 1.1.5

дной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может быть подвижной и неподвижной (напр., ось вращения колеса движущегося автомобиля относительно машины неподвижна, а относительно дороги перемещается); может располагаться внутри тела или за его пределами.

Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы. Проведем радиус-вектор некоторой точки в момент времени и в любой другой момент времени . Угол между этими двумя положениями радиуса-вектора определяет угол поворота тела. При вращении тела угол - величина переменная, зависящая от времени t. При вращении твердого тела проекция радиуса-вектора каждой его точки на плоскость, перпендикулярную оси вращения за малый промежуток времени dt поворачивается на один и тот же угол . Здесь -вектор, длина которого равна углу поворота , а направление определяется в соответствии с правилом правого винта и совпадает с осью вращения – т.о. положение тела в пространстве определяется углом поворота вокруг оси вращения. Но за одинаковые отрезки времени разные точки тела проходят разные расстояния : чем дальше от оси вращения, тем больший путь проходит точка. Т.о. скорости у разных точек тоже разные. Поэтому для описания вращательного движения неудобно пользоваться понятиями «путь», «скорость», «ускорение» точки.

Мерой перемещения служит вектор элементарного поворота тела.

Опр. 1.1.12. Скорость изменения угла называется угловой скоростью и я вляется вектором: или (1.1.14)

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения таким образом, чтобы из его конца вращение тела было видно происходящим против часовой стрелки. Направление совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом.

Случай 1. Пусть произвольная точка некоторого тела вращается вокруг неподвижной оси, при этом описывая окружность радиуса . За малое время эта точка проходит по дуге окружности путь (из 1.1.14). Из данного выражения можно получить два важных вывода:

1) разделим правую и левую части равенства на и получим значение модуля скорости - (1.1.15)

мы получили формулу, связывающую линейную скорость с угловой.

2) т.к. , то проинтегрировав правую и левую части равенства, получим , где постоянная интегрирования , но при движении по окружности обычно полагают и получаем формулу, связывающую путь и угол поворота:

(1.1.16)

Средняя угловая скорость определяется как . (1.1.17)

Размерность: .

Опр. 1.1.13. Изменение со временем определяется величиной углового ускорения или (1.1.18)

Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости в случае ускоренного вращения и противоположен ему по направлению в случае замедленного вращения .

Случай 2. Пусть т. , рассмотренная в случае 1, вращается ускоренно вокруг неподвижной оси. При движении по кривой полное ускорение , где

и . Т.о. (1.1.19)

Среднее угловое ускорение определяется как . (1.1.20)

Размерность: .

Опр. 1.1.14. Вращение тела вокруг неподвижной оси называется равномерным, если . Тогда по 1.1.14 и , где значение постоянной интегрирования при . Т.о. - уравнение равномерного вращения.

Опр. 1.1.15. Вращение тела вокруг неподвижной оси называется равнопеременным, если . Тогда угловая скорость является функцией времени и по 1.1.18 получим , а после интегрирования - , где значение постоянной интегрирования при . Применим формулу 1.1.4 и получим и , где значение постоянной интегрирования при . Т.о. - уравнение равнопеременного вращения.

Уравнения вращательного и поступательного движения.

	Поступательное движение		Связь между величинами	Вращение тела вокруг неподвижной оси
Кинетическое уравнение движения (вращения)	, где - длина пути, пройденного точкой от начала ко­ординат.		, где R — радиус вращения точки	, где -угол поворота тела.
Средняя (средняя угловая) скорость
Мгновенная (мгновенная угловая) скорость.			,
Среднее (среднее угловое) ускорение
Мгновенное (мгновенное угловое) ускорение		Полное ускорение	Модуль ускорения
			,
			,
Уравнение равномерного движения (вращения)	; ;			;
Уравнение равнопеременного движения (вращения)
Скорость равнопеременного движения (вращения)	,			,

Если вращение является равномерным, т.е. происходит с постоянной угловой скоростью, то такое движение будет периодическим. Для описания периодического движения используют понятия периода и частоты вращательного движения. При этом величину ω иногда называют угловой частотой вращения.

Опр. 1.1.16. Периодом обращения тела называется время, в течение которого тело поворачивается вокруг неподвижной оси вращения на угол : . (1.1.16)

Опр. 1.1.17. Частота вращения - число оборотов в единицу времени , или , (1.1.17)

где N — число оборотов, совершаемых за время t, T — период враще­ния (время одного оборота).

Пример 1.1.6. Маховик вращался с постоянной частотой , потом начал вращаться равноускоренно. Через 8 с вращение маховика опять сделалось равномерным, но уже с частотой . Определить угловое ускорение маховика и количество оборотов, сделанных маховиком за время равноускоренного движения.