
- •Глава 1. Физические основы механики
- •§1. Кинематика Основные характеристики и закономерности кинематики.
- •Поступательное движение.
- •Р ешение:
- •Р Дано: , ешение:
- •Р Дано: ешение:
- •Р Дано: ешение:
- •Р Дано: ешение:
- •Р Дано: ешение:
- •Движение тела, брошенного вертикально вверх и свободное падение тела.
- •Р Дано: ешение:
- •Движение тела под углом к горизонту.
- •Р Дано: ешение:
- •§2. Динамика поступательного движения
- •Сила, масса, импульс.
- •Решение:
- •Второй закон Ньютона.
- •Третий закон Ньютона.
- •Р Дано: ешение:
- •Р Дано: ешение:
- •Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.
- •Решение:
- •Дано: Решение:
- •§ 3. Работа и энергия. Работа.
- •Р Дано: , , ешение:
- •Мощность.
- •Энергия.
- •Решение:
- •§4. Динамика вращательного движения. Момент силы.
- •Момент импульса.
- •М омент инерции.
- •Р Дано: , , ешение:
- •Р Дано: , , , ешение:
- •Уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Р Дано: , , ешение:
- •Энергия.
- •Гироскопы.
- •Лекция 5
- •Глава 2. Колебания.
- •§1. Общие представления о колебательных процессах.
- •§2. Гармонические колебания.
- •Движение системы вблизи устойчивого положения равновесия.
- •Энергия колебаний.
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •§3. Маятники. Колебания пружинного маятника.
- •Решение:
- •Колебания математического маятника.
- •Колебания физического маятника.
- •Колебания крутильного маятника.
- •Решение:
- •Р Дано: , ешение:
- •Р Дано: , , , ешение:
- •§4. Сложение колебаний.
- •Одновременно совершаются гармонические колебания одного направления
- •Р Дано: см, см. Ешение:
- •Решение:
- •§5. Затухающие колебания.
- •Решение:
- •Решение:
- •Р Дано: , , ешение:
- •§6. Апериодическое движение. Вынужденные колебания. Параметрические колебания, автоколебания.
- •§7. Амплитудные и фазовые резонансные кривые.
- •Р Дано: ешение:
- •§8. Волновые процессы.
- •Решение:
Р Дано: , ешение:
Т.к.
маятники колеблются синхронно, т.е.
,то
приведенная длина физического маятника
.
Приравнивая периоды колебаний маятников,
найдем расстояние
:
,
где по теореме Штейнера имеем
,
.
Отсюда
,
.
Подставив численные значения, получим
,
.
Оба значения удовлетворяют условиям
задачи, причем
.
Пример 2.3.4. На
концах тонкого стержня длиной 30 см и
массой
укреплены грузики массой
и
.
Стержень колеблется около горизонтальной
оси, проходящей через его середину.
Определить период колебаний, совершаемых
стержнем.
Р Дано: , , , ешение:
С
тержень
– физический маятник, поэтому
.
Момент инерции данного маятника состоит
из моментов инерции обоих грузиков и
момента инерции стержня:
.
Пренебрегая размерами грузиков, получим:
,
.
Момент инерции стержня относительно
оси, проходящей через его середину:
.
Общий момент инерции данного маятника:
=
.
Найдем
-
расстояние центра тяжести маятника от
оси вращения. Напишем условие равновесия
стержня с грузиками, находящегося в
горизонтальном положении.
.
Отсюда
.
Т.о.
.
§4. Сложение колебаний.
П
од
сложением колебаний понимают
нахождение закона результирующих
колебаний системы в тех случаях, когда
эта система участвует в нескольких
колебательных процессах.
Предельные случаи:
Одновременно совершаются гармонические колебания одного направления
Одинаковой частоты:
и
, то результирующее колебание
совершается с той же частотой по гармоническому закону
.
Опр. 2.4.1. Два гармонических колебательных процесса называются когерентными колебаниями, если они согласованно протекают во времени, так что их разность фаз остается постоянной.
Для отыскания
и
пользуются методом векторных диаграмм,
основанный на том, что в каждый момент
времени вращающиеся векторы амплитуд
складываемых колебаний и результирующий
вектор связаны соотношением
.
В скалярной форме
.
Т
.к.
косинус –
функция
ограниченная,
то возможные
значения
амплитуды
заключе-ны в пределах
Начальная
фаза результирующего колебания может
быть найдена по формуле:
.
Частные случаи:
, где
. Тогда
и
, где . Тогда
и
Разной частоты:
и
, то результирующее колебание не является гармоническим. Его можно представить в следующей форме:
, где
.
Начальная фаза
.
Гармонические колебания, частоты которых
различны, некогерентны, т.к. разность
их фаз непрерывно изменяется с течением
времени.
Мало отличаются по частоте – биения. Величина
периодически изменяется в пределах от
до
.
. Период биения
.
Частота биений
,
возникающих при сложении двух колебаний
с различными, но по значению частотами
и
:
.
Сложное (негармоническое) периодическое колебание: в виде ряда Фурье.
Одновременно совершаются гармонические колебания во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y.
Одинаковой частоты:
и
. Уравнение траектории результирующего колебания находится с помощью исключения из уравнений параметра t.
. Это уравнение эллипса, характеристики которого определяются значением разности фаз
. В предельных случаях эллипс вырождается в прямую или окружность. В случае, если начальные фазы
, уравнение траектории принимает вид:
.
Разной частоты: замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.
Пример
2.4.1. Совершаются
два колебания одинакового направления,
выражаемых уравнениями
см,
и
см.
Определить амплитуды, периоды и начальные
фазы складываемых колебаний. Написать
уравнение результирующего колебания.