Решение:

Запишем уравнение колебаний маятника и начальные условия:

где частота колебаний определяется формулой .

Решение дифференциального уравнения: .

Скорость тела: .

Подставим начальные условия:

Окончательно получим:

Найдем выражения для кинетической, потенциальной и полной энергий:

Колебания математического маятника.

О пр. 2.3.2. Математический маятник – изолированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенный на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющийся под действием силы тяжести (напр., небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити). Частный случай физического маятника при массе, сосредоточенной в одной точке.

Основное уравнение динамики вращательного движения . Т.к. для материальной точки, находящейся на расстоянии от оси вращения, момент инерции , , , то . Уравнение движения , где . Это уравнение справедливо для малых амплитуд колебаний, когда можно использовать условие .

Период колебаний , где длина маятника, ускорение свободного падения.

Период и частота колебаний математического маятника не зависят от массы материальной точки и при фиксированном значении g полностью определяются длиной маятника l.

Общее решение уравнения можно записать в виде .

Колебания физического маятника.

О пр. 2.3.3. Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела.

Рассмотрим колебания физического маятника.

Здесь О – точка подвеса, С – центр масс тела, l – расстояние между точкой подвеса и центром масс. Уравнение движения где J – момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через точку О. Для момента сил можно написать , где угол, на который отклонен из положения равновесия маятник. Подставим эти значения в уравнение движения: уравнение движения , где частота колебаний определяется выражением .

Общее решение дифференциального уравнения имеет такой же вид, как и для математического маятника.

Период колебаний: , где - приведенная длина физического маятника.

Колебания крутильного маятника.

Опр. 2.3.4. Крутильный маятник - твердое тело, подвешенного на упругой нити (стержне), верхний конец которой закреплен неподвижно. Крутильные колебания обусловлены упругими силами, возникающими в нити (стержне) при ее кручении вокруг оси Oz.

Период колебаний: , где момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью, жесткость упругой нити, численно равная упругому моменту, возникающему при закручивании нити на угол, равный единице.

Пример 2.3.1. Определить период колебаний физического маятника, состоящего из однородного стержня длиной 30 см, совершающего малые колебания. Точка подвеса укреплена на расстоянии 10 см от центра масс стержня.

Решение:

При малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает колебания с периодом . По теореме Штейнера , где . Получаем .

П

Дано:

,

ример 2.3.2. Пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой смещения 0,04 м. При смещении 0,03 м сила упругости равна . Определить потенциальную и кинетическую энергии, соответствующие данному смещению, и полную энергию маятника.

, , ,

Дж.

Пример 2.3.3. Математический длиной 40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной 60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить приведенную длину физического маятника и расстояние от центра масс стержня до оси колебаний.