Решение:

По условию задачи , см. Следовательно, ; ; ; ; . .

Пример 2.2.2. Материальная точка массой 400 г совершает гармонические колебания вдоль горизонтальной оси по закону . Найти силу, действующую на точку.

Решение:

Найдем проекцию ускорения колеблющейся точки на ось ОХ: . Проекция действующей силы на ось ОХ: . Т.к. проекция силы на ось ОХ и координата колеблющейся точки противоположны по знаку, то сила направлена к началу координат, т.е. играет роль возвращающей силы.

Пример 2.2.3. Материальная точка массой совершает гармонические колебания с частотой . Амплитуда колебаний . Определить: 1) скорость точки в момент времени, когда смещение ; 2) максимальную силу, действующую на точку; 3) полную энергию колеблющейся точки.

Решение:

1) ; . Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из данных формул время.

, . Возведем оба уравнения в квадрат и сложим или . Решив данное уравнение относительно , найдем . Знак «плюс» соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением ОХ. Знак «минус» соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с отрицательным направлением ОХ.

2) , , , , .

3) полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.

Опр. 2.2.3. Гармоническим осциллятором наз. система, совершающая колебания, описываемые уравнением .

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат моделью во многих задачах физики. Примерами гармонического осциллятора являются маятники.

§3. Маятники. Колебания пружинного маятника.

Опр. 2.3.1. Пружинный маятник – тело массы , подвешенное на абсолютно упругой пружине и совершающее колебания под действием упругой силы , где жесткость пружины.

Знак минус указывает на то, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную смещению х.

Схема пружинного маятника показана на рисунке.

На рисунке (а) показано состояние нерастянутой пружины. Начало координат совпадает с равновесным положением массы в состоянии нерастянутой пружины. На рисунке (б) показано состояние растянутой пружины,

(а)

(б)

когда масса смещена влево на величину х. Составим уравнение колебаний такой механической системы. Т.к. , то .

Уравнение движения .

Циклическая частота: , где масса тела. Зависит от жесткости пружины, массы груза и для выбранного маятника является величиной постоянной (не зависит от начальных условий).

Период колебаний ,

Тогда уравнение движения . Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела);

Решением этого дифференциальным уравнения будет функция .

Значения амплитуды А и начальной фазы определяются начальными условиями, т. е. условиями в начальный момент времени t = t₀ .

Определим энергию пружинного маятника и ее изменение при колебаниях.

Кинетическая энергия .

Для определения потенциальной энергии растянутой пружины воспользуемся условием .

Здесь предполагается, что изменение потенциальной энергии пружины происходит за счет работы, совершаемой при растяжении пружины. Проинтегрируем это выражение: .

Потенциальная энергия растянутой пружины определяется выражением .

Полная энергия пружинного маятника

является величиной постоянной и зависит от амплитуды колебаний и физических параметров пружины. Потенциальная и кинетическая энергии пружинного маятника зависят от времени и являются периодическими функциями.

Пример 1. Пружинный маятник представляет собой пружину жесткостью k и связанное с ней тело массы т. В начальный момент времени массу отклонили от положения равновесия на расстояние х₀ и отпустили без начальной скорости. Найти временные зависимости отклонения , скорости и ускорения . Записать выражения для кинетической, потенциальной и полной энергий маятника.