§2. Гармонические колебания.

Опр. 2.2.1. Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Простейший тип колебаний.

Уравнение гармонических колебаний или ,

где смещение колеблющейся точки от положения равновесия, время,

амплитуда колебаний, равная максимальному абсолютному значению ,

круговая или циклическая частота– число полных колебаний, которые совершаются за единиц времени,

и начальные фазы колебаний,

и фазы колебаний в момент времени . Вообще, фазой называют аргумент синуса или косинуса.

Установим связь между периодом и круговой частотой гармонических колебаний. Имеем .

Отсюда

Между линейной частотой колебаний и круговой частотой существует связь: .

Единица круговой частоты .

Скорость точки, совершающей гармонические колебания: или

Ускорение при гармоническом колебании:

или

Т.к. , то дифференциальное уравнение гармонических колебаний: ,

где является решением данного дифференциального уравнения, у которого величины и принимают любые значения. Для определения этих величин необходимо задать дополнительные условия.

Отметим, что уравнение описывает гармонические колебания. Применим метод дополнительного угла и получим , где , .

Гармонические колебания играют важную роль, т.к. многие периодические колебания можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Непериодические колебания называют квазипериодическими, если их в первом приближении или в небольших областях можно рассматривать как периодические.

Движение системы вблизи устойчивого положения равновесия.

Опр. 2.2.2. Механические колебания материальной точки около положения устойчивого равновесия – такое движение материальной точки, при котором периодически повторяются траектория ее движения, а также ее скорость и ускорение в любой точке траектории. Положение равновесия принимают за начало координат, а колебания происходят вдоль оси x.

Возвращающая сила , где (m- масса точки). По своему характеру аналогична упругой силе.

Кинетическая и потенциальная энергия гармонических колебаний системы являются периодическими функциями времени с периодом .

Энергия колебаний.

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия

Полная энергия колеблющейся точки . Кинетическая энергия имеет нуль там, где потенциальная достигает максимума, т.е. в положениях крайнего отклонения; кинетическая энергия достигает максимума при прохождении положения равновесия, потенциальная энергия в этой точке равна нулю. . В точках крайнего смещения вся энергия переходит в потенциальную, при прохождении положения равновесия вся энергия переходит в кинетическую.

Гармонические колебания изображаются графически методом векторных диаграмм.

Пример 2.2.1. Какова частота, амплитуда и начальная фаза колебаний, заданных уравнением , см. Каковы максимальная скорость и ускорение точки, колеблющейся по заданному закону?