Р Дано: , , ешение:

; ; ; ; ;

; . Т.к. и , то , откуда .

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется – фундаментальный закон, связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью.

а) в общем виде , (1.4.13)

где момент импульса тела с номером , входящего в состав системы;

б) для двух тел , где моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия, те же величины после взаимодействия;

в) для однородного тела, момент инерции которого может

м еняться , где начальное и конечное значения момента инерции, начальная и конечная угловые скорости тела.

С охранение момента количества движения может быть продемонстрировано с помощью человека, стоящего на скамеечке, которая может без трения вращаться вокруг вертикальной оси («скамья Жуковского»). Пусть человек стоит на такой скамеечке и держит в расставленных руках гири. Скамеечка вместе с человеком вращается с угловой скоростью . При этом человек имеет определенный момент количества движения , который должен сохраниться при равенстве нулю момента внешних сил. Если человек опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в результате чего возрастет угловая скорость его вращения . Если человек снова поднимет руки, то угловая скорость снова примет прежнее значение.

Пример 1.4.4. Человек стоит на скамейке Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Скамейка с человеком вращается с частотой . С какой частотой будет вращаться скамейка, если человек повернет стержень так, чтобы он принял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамейки , длина стержня , его масса .

Дано:

, ,

Решение:

, где и - момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с вертикальным стержнем, и - момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с горизонтальным стержнем. . .

, где моменты инерции человека и стержня в руках человека. , . Получаем

Ответ:

Энергия.

Т.к. кинетическая энергия поступательного движения материальной точки определяется формулой , то, учитывая формулу , можно найти аналогичное выражение для кинетической энергии вращательного движения. Для материальной точки, вращающейся вокруг некоторой оси, получим ,(1.4.14)

где – момент инерции материальной точки относительно оси вращения.

Кинетическая энергия твердого тела, совершающего вращательное движение ,

где J – момент инерции тела относительно оси вращения.

Если тело совершает вращательное и поступательное движения (например, катится по плоскости без скольжения), то его полная кинетическая энергия может быть представлена в виде суммы энергий поступательного и вращательного движений (1.4.15) где скорость центра инерции тела; – момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр инерции.

Найдем работу момента силы, действующего на вращающееся тело. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси. Сила, приложенная к к некоторой точке тела, совершает элементарную работу , где перемещение этой точки за малое время. , где угловая скорость точки, расстояние от центра окружности до точки приложения силы, угол поворота тела. По формуле (1.4.1) , и получаем . Или работа постоянного момента силы , (1.4.16)

Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением . (1.4.17)

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела

(1.4.18)

Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.

Поступательное движение	Вращательное движение
Основные понятия
масса	момент инерции
скорость	угловая скорость
ускорение	угловое ускорение
сила	момент силы или
импульс	момент импульса
Основной закон динамики (второй закон Ньютона)
Закон сохранения
импульса:	момента импульса:
Работа и мощность
,	,
Кинетическая энергия
Условия статического равновесия тела (системы тел)
Уравнения движения
,

Пример 1.4.11. Какую часть от общей кинетической энергии составляет энергия вращения для катящихся: 1) обруча; 2) сплошного цилиндра; в) шара.

Решение: , т.к. , то . 1) Для обруча 2) Для сплошного цилиндра ; 3) Для шара .

Пример 1.4.12. С наклонной плоскости высотой скатываются: 1) обруч; 2) сплошной цилиндр; 3) шар. Найти поступательные скорости, которые они будут иметь, скатившись до конца плоскости. Сравнить эти скорости со скоростью, которое имело бы тело, соскальзывающее по плоскости без трения.

Решение: В отсутствии трения систему можно считать замкнутой. Каждое из тел в начальный момент времени обладает потенциальной энергией , которая затем преобразуется в кинетическую энергию поступательного движения и кинетическую энергию вращения . Т.к. , то . Для тела, соскальзывающего без трения с наклонной плоскости, , откуда . 1) Для обруча , ; 2) Для сплошного цилиндра , ; 3) Для шара .