М омент инерции.

Рассмотрим тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью. Его можно представить как совокупность материальных точек с массами (одна из этих точек под номером показана на рис.4). Момент импульса тела равен суммарному моменту импульса материальных точек (индекс здесь и в дальнейшем опущен): , (1.4.5.) т.к. . Величина характеризует распределение массы тела относительно оси вращения и называется моментом инерции тела.

Момент импульса и момент инерции связаны соотношением: .(1.4.5.)

Опр.1.4.2. Моментом инерции тела относительно оси называется величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси.

Размерность: .

Момент инерции тела зависит только от формы тела и расположения масс в нем.

Момент инерции:

а) материальной точки массы , находящейся на расстоянии от оси вращения ; (1.4.4)

б) системы материальных точек , где расстояние элемента массы от оси вращения. (1.4.6)

в) твердого тела, которое можно рассматривать как механическую систему, масса которой распределена по всему объему тела : . (1.4.7)

Если тело однородно, т.е. его плотность одинакова по всему объему, то и . (1.4.8)

Подсчет момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается, если воспользоваться теоремой о параллельном переносе оси вращения (теореме Штейнера).

Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси , (1.4.9)

где момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси, расстояние между осями, масса тела.

момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр инерции, меньше момента инерции относительно любой параллельной ей оси.

Д окажем эту теорему.

П

Рис.1.4.5

усть центр тяжести тела и ось, проходящая через точку . Найдем момент инерции тела относительно некоторой произвольной оси . Выберем малый элемент тела массой . Обозначим за расстояние между и осью , расстояние между и осью . По теореме косинусов , откуда .

Выражение, стоящее под знаком третьего интеграла, есть абсцисса элемента тела в системе координат с началом в центре масс тела и осью абсцисс, пересекающей оси и , и лежащей в перпендикулярной им плоскости. По определению центра масс , т.к. центр масс совпадает с началом координат. Т.о. справедливость соотношения доказана.

Примеры расчета момента инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

1) однородный тонкий стержень массой и длиной . Случаи:

• ось проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно к стержню.

Рассмотрим момент инерции участка АС. Масса малого элемента стержня ,

г де линейная плотность стержня, , получим

Рис.1.4.6

.

Т.к. , то момент инерции всего стержня и . (1.4.10)

• ось проходит через конец стержня перпендикулярно к стержню.

А налогично предыдущему случаю

, откуда . (1.4.11)

2) тонкие кольцо, обруч, тонкостенный цилиндр (труба) радиусом и массой ; маховик радиусом и массой , распределенной по ободу. Ось проходит через центр перпендикулярно к плоскости основания.

Р ассмотрим момент инерции обруча. Все малые элементы обруча находятся на одном и том же расстоянии от его оси, проходящей через его центр масс С, поэтому . (1.4.12)

3) круглый однородный диск (цилиндр) радиусом и массой ; ось проходит через центр диска перпендикулярно к плоскости основания.

Р

Рис.1.4.8

азобьем цилиндр на концентрические цилиндрические обручи толщиной . По формуле 1.4.8. , где объем бесконечно тонкого кольца радиусом , толщиной и высотой . Т.к. , то . Подставим

и получим . (1.4.13)

4

Рис.1.4.9

) полый толстостенный цилиндр относительно его оси.

П усть внешний и внутренний радиусы цилиндра. Задача рассматривается аналогично предыдущему случаю, но т.к. цилиндр не сплошной, а полый внутри, то пределы интегрирования будут другими.

. Масса такого цилиндра , откуда . (1.4.14)

5) однородный шар радиусом и массой ; ось проходит через центр шара.

Р

Рис.1.4.10

азобьем шар на бесконечно малые цилиндры высотой и имеющие радиусы и массу , где . Тогда по формуле (1.4.13) .Т.к. ,то . (1.4.15)

6) полый шар массой ; ось проходит через центр шара.

Пусть внешний и внутренний радиусы шара. , где моменты инерции шаров с радиусами . Аналогично предыдущему случаю получаем .

Т.к. , то . (1.4.15)

Пример 1.4.1. Два шара радиусами 2 см и массой 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной 20 см. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр тяжести.