Формулы обращения (обратное преобразование Фурье).

Если – функция распределения , – характеристическая функция, то для любых точек непрерывности и

и если интегрируема, то

Если , то существует плотность такая, что

Различные виды сходимости.

Пусть на вероятностном пространстве задана последовательность случайных величин , .

1. Последовательность случайных величин сходится к -п.н., если . 2. Последовательность сходится к по вероятности ( ), если для любого при . 3. Последовательность сходится к при в ( ), если при 4. Последовательность сходится к при в ( ), если при ; принято обозначение для такой сходимости 5. Последовательность сходится по распределению (слабо сходится) к при : ( ), если для любой непрерывной ограниченной функции

где – функция распределения случайных величин , , – функция распределения случайной величины .

Соотношения сходимостей.

1. Из сходимости -п.н. следует сходимость по вероятности.

Доказательство. Предположим противное. Пусть , т.е. такого, что

подпоследовательность и такие, что и и .

Заметим, что в силу того, что для бесконечного числа номеров . , так как и , т.е. при . Следовательно, .

2. Пусть и , тогда из сходимости в следует сходимость в . Это следует из неравенства , где .

Аналогично из сходимости в следует сходимость в при .

3. Из сходимости в следует сходимость по вероятности.

Доказательство. Из неравенства Чебышева следует, что

4. Пусть сходятся по вероятности к , и - равномерно ограничены (т.е. ). Тогда сходится к в .

Доказательство. Рассмотрим функции , такие, что , и . Предположим, что в , т.е. и подпоследовательность такие, что

Обозначим .

.

Заметим, что ; следовательно, . Но , значит , т.е. , и, следовательно, .

5. Пусть – функция распределения константы ( ), и последовательность слабо сходится к . Тогда сходится к по вероятности.

Доказательство.

В качестве функции рассмотрим:

Следовательно, , т.е. .

Определение. Распределения слабо сходятся к распределению , если для любой непрерывной, ограниченой функции

т.е. во всех точках непрерывности . Обозначения: , .

Метод характеристических функций.

Теорема непрерывности. Пусть – последовательность функций распределения , и – последовательность соответствующих характеристических функций

1)Если , где – некоторая функция распределения, то , , где – характеристическая функция

2)Если для любого существует , и – непрерывна в точке , то – характеристическая функция некоторого распределения , и .

Доказательство 1) очевидно следует из определения слабой сходимости, примененного к функциям и .

Доказательство 2).

Воспользумся вспомогательным утверждением.

Утверждение. a) Если любая слабо сходящаяся подпоследовательность сходится к одной и той же , то и вся последовательность , .

б) Если – функция распределения и её характеристическая функция, то существует константа такая, что

Доказательство утверждения.

где

Утверждение доказано. Доказательство 2). Пусть , , где непрерывна в 0. Покажем, что меры плотны, т.е.

Действительно,

Так как непрерывна в нуле, то мы можем выбрать и получить, что семейство плотно.

По теореме Прохорова из плотности следует относительная компактность, т.е. в каждой последовательности выбранной из слабо сходящаяся подпоследовательность , и, следовательно, в силу пункта a) утверждения следует требуемая сходимость. Теорема доказана.