39 Статистический анализ парной корреляции.

парная корреляция исследует связь между одним признаком-фактором (х) и одним признаком-результатом (у).

уравнение парной линейной корреляционной зависимости имеет следующий вид: , где у_х – теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии; a₀, a₁ – коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Параметры уравнения a₀, a₁ определяют путем решения системы нормальных уравнений, полученной на основе метода наименьших квадратов. В основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений фактических данных (у_i) от выровненных (y_xi):

(у_i - y_xi)² = (у_i - а₀ - а₁х_i)²  min,

Параметры уравнения прямой будут иметь следующий вид: . Определив значения а₀, а₁ и подставив их в уравнение связи , находим значение у_х, зависящее только от заданного значения х.

Для прямолинейных зависимостей измерителем тесноты связи между признаками является коэффициент парной корреляции, который рассчитывается по формуле:

, где - среднее произведение факторного и результативного признака:

; - среднее значение факторного признака:

; - среднее значение результативного признака:

; - среднее квадратическое отклонение результативного признака:

; - среднее квадратическое отклонение факторного признака: .

Квадрат линейного коэффициента корреляции называется линейным коэффициентом детерминации: r² = d

Он показывает, какая часть общей вариации результативного признака (y) объясняется влиянием изучаемого фактора (x).

Для получения выводов о практической значимости синтезированных в анализе моделей, показаниям тесноты связи дается качественная оценка. Это осуществляется на основе шкалы Чеддока.

40 Статистическая оценка взаимосвязи между качественными признаками с помощью непараметрических методов

Для измерения связи между качественными признаками в статистике широко используются коэффициенты сопряженности А.А. Чупрова, коэффициент ассоциации К. Пирсона, а также коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

Коэффициент ассоциации К. Пирсона (КП) - относительно простой показатель сопряженности величин. Он применяется к вариации двух качественных признаков, распределенных по двум группам. Его расчет производится на основе таблицы, именуемой таблицей четырех полей.

Этими полями являются клетки а, b, с, d. Расчет осуществляется на основе сопряжения по строкам а и b, с и d, а также по графам а и с, b u d.

Коэффициент ассоциации Пирсона определяется по формуле:

Ассоциируемые показатели могут быть как абсолютными, так и относительными. Коэффициент ассоциации измеряется от -1 до +1 и интерпретируется так: чем ближе коэффициент к 1, тем теснее связь.

Коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова (КЧ), в отличие от коэффициента Пирсона, применяется для измерения связи между соотношением двух атрибутивных признаков по трем и более группам. Он рассчитывается по формуле: , где  ² - показатель взаимного сопряжения; m₁ и m₂ - число групп по каждому признаку; 1 - постоянный коэффициент.

Коэффициент A.A. Чупрова варьирует от 0 до 1 и его значение не может быть отрицательным. Связь считается существенной при величине коэффициента равной 0,3. Чем ближе его значение к единице, тем сильнее связь.

Коэффициент Фехнера (КФ) рассчитывается на основе сравнения параллельных рядов. С его помощью можно установить направление связи и ее тесноту. Вначале исчисляется средняя арифметическая ряда признака-фактора ( ) и признака-следствия ( ). Затем определяются знаки отклонений от средних. Если реальное значение больше средней, то против него ставится знак (+), меньше - знак (-). Совпадение знаков по отдельным значениям ряда х и у означает согласованную вариацию, несовпадение - нарушение согласованности.

Коэффициент Фехнера будет исчисляться по формуле: ,

где С - число совпадений знаков;

Н - число несовпадений знаков.

Коэффициент Фехнера изменяется от +1 до -1. При +1 имеется полная прямая согласованность, при 0 - изменчивость никак не согласуется, при -1 - полная обратная несогласованность.

Коэффициент Спирмена ( ) рассчитывается по следующей формуле: , где d² - квадрат разности рангов; n - число сопоставляемых пар рангов; 1 и 6 - постоянные коэффициенты. Методика расчета коэффициента ранговой корреляции Кендалла аналогична методике расчета коэффициента Спирмена, только с иным расчетом суммы рангов.

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла () рассчитывается по следующей формуле:

, где S - сумма разности между значениями; n - число сопоставляемых рангов; 1/2 и 1 - постоянные коэффициенты. Коэффициенты Кендалла и Спирмена изменяются от +1 до -1.