3. Методы идентификации бдс в стационарных режимах (ср).

Итак, в стационарных режимах БДС имеет значение вектора состояний x₀=const, что очень легко идентифицировать по наблюдениям компонент x, т.е. величин x_i. Однако сама БДС может находиться в разных (внутренних) состояниях, которые можно исследовать путем предъявления на вход БДС некоторых внешних (возмущающих) стимулов (например, U_i=U_i(t)). Мы будем использовать подход "черный ящик", когда по анализу входных (U_i) и выходных (y) величин для неизвестной БДС можно построить некоторую адекватную математическую модель вида (1) или (3):

(3)

Модель (3)- это модель в виде разностных уравнений, где U(t)- величина входных воздействий, B- вектор оценки U(t), c^Т- вектор- строка вклада (влияния) переменных x_i(t) на величину выхода БДС- y(t), а x(t+1) и x(t)- последующие и предыдущие значения вектора x, взятые через шаг (и интервал времени) равный 1.

В настоящей работе используется метод минимальной реализации (ММР), когда находятся модели (1) или (3) с минимальным порядком (размером вектора х) n и минимальной погрешностью P (в процентах, практически, мы требуем P < 5%). Последнее означает, что отклонение теоретических значений y_i (вычисленных из (1) или (3)) не должно превышать 5% от полученных на практике у (фактически, набор выходных величин y_i), которые называются марковскими параметрами. Используется разработанная программа, реализующая ММР для данной БДС, которая находится в линейном (или квазилинейном) состоянии. Проверить такое состояние легко. Для этого надо кратно увеличить входной стимул U и убедиться, что так же кратно увеличился сигнал y(t). Во многих случаях линейность БДС можно просто постулировать. Например, мы можем считать, что ССС в покое является линейной системой. Тогда даем нагрузку испытуемому (например, 30 приседаний за 30 сек!) и наблюдаем ответную реакцию (изменение ЧСС, АД) в течение 6 минут, регистрируя каждые 30 сек измеряемые величины. Полученные y_i (12 измерений) и будут марковскими параметрами, используя которые можно построить модели (1) или (3), т.е. получить адекватную математическую модель исследуемого "черного ящика".

Итак, установив соотношение между входными (U) и выходными (y_i) величинами, мы получаем метод изучения БДС в СР с использованием ММР [2,3]. Динамика поведения БДС после возмущающего воздействия при условии исходного нахождения в стационарном режиме может исследоваться и методом наименьших квадратов, когда находится не ДУ, а сразу выходная функция у=у(х). Метод наименьших квадратов подробно описан в работе [3].

Остановимся более подробно на особенностях выполнения работы. В качестве конкретных БДС выбираем ССС (тест описан выше) и респираторную систему (РС) [2]. Для последней в качестве U_i задаем гиперкапический стимул (дыхание 1% смесью CO₂ и воздуха- в течение 10 сек- 5 вздохов). Наблюдаемые y_i-это ЧСС, АД (max и min), частота дыхания. По регистрируемым y_i строится модель ССС и РС в виде дифференциальных уравнений и производится сравнение результатов вычисления собственных значений матрицы A линейных приближений для разных испытуемых [1]. Делается вывод об идентичности или различии в системах регуляции ЧСС, АД и РС для разных моделей.

Желательно обследовать пять человек по методике представленной выше. В качестве примера приведем результаты опытов с испытуемым N. После нагрузки в период восстановления ЧСС были получены данные (см. табл.2), которые обрабатывались с использованием программы ММР. Конкретный пример такой обработки приведен в таблице 3.

Анализ результатов производился с учетом следующих замечаний: реакцию на пробу определяют по самочувствию пациента, ЧСС, АД, дыханию и данным ЭКГ как во время нагрузки, так и в восстановительный период. В институте сердечно-сосудистой хирургии АМН СССР выделены следующие типы реакции АД и ЧСС при фиксированной физической нагрузке (см. табл. 4).

Нормальной реакцией считается увеличение систолического АД на 15-30% и уменьшение диастолического АД на 10-30% или его неизменность по сравнению с исходным. Увеличение пульсового давления должно быть в тех же пределах, что и ускорение пульса. Уменьшение пульсового давления считается неадекватной реакцией АД на физическую нагрузку.

Таблица 4

ТИП РЕАКЦИИ	ИЗМЕНЕНИЯ ЧСС И АД
НОРМОТОНИЧЕСКИЙ	Увеличение ЧСС соответствует приросту пульсового давления, при этом диастолическое АД не меняется.
ГИПОТОНИЧЕСКИЙ	Увеличение ЧСС может достигать 120-150%, а пульсовое давление возрастает лишь на 12-25% или уменьшается
ГИПЕРТОНИЧЕСКИЙ	Резкое повышение систолического АД до 160-180 мм рт.ст., диастолического АД до 90-100 мм рт.ст., увеличение ЧСС
ДИСТОНИЧЕСКИЙ	Большие сдвиги систолического и диастолического АД (появление "бесконечного тона"), резкое увеличение ЧСС
СТУПЕНЧАТЫЙ	На 2-3-й минуте восстановительного периода систолическое АД выше, чем на 1-й минуте

Таким образом, тест с 30-ю приседаниями является наиболее простым, физиологичным, доступным для обследуемых любого возраста и любой трудоспособности. Он не требует специальных навыков, дорогостоящего оборудования, его интенсивность легко регулируется скоростью приседаний.

В группу лиц с повышенным АД входят дети с САД или ДАД, превышающими значения 95% от исходных точек распределения (о тенденции можно говорить при значениях выше 50-75%), в группу с пониженным АД-с САД, попадающим в нижние 5% кривой распределения (тенденция- ниже 25%). Отметим, что в норме на плечевых артериях разница АД не должна быть более 10 мм рт.ст.; на ногах АД на 20-30 мм рт. ст. выше, чем на руках.

Восстановительный период после физической нагрузки оценивают по времени и характеру восстановления ЧСС и АД. У здоровых детей пульс должен восстановиться на 5-7-й минуте, систолическое АД– на 4-5-й минуте, диастолическое АД- на 2-4-й минуте. По комплексу показателей выделяют типы реакции: а) хорошая (адекватная)- без жалоб на изменения ЧСС и АД, восстановительный период до 5 мин; б) удовлетворительная (неадекватная)- возрастание ЧСС и АД выше допустимого уровня, увеличение числа дыханий, восстановительный период до 7 мин; в)неудовлетворительная (патологическая) -выраженные отклонения ЧСС и АД, тахипноэ, ишемические изменения на ЭКГ, жалобы, восстановительный период до 10 мин и больше.

Исследования в рамках National Health Examination [2] показали, что важное прогностическое значение в отношении повышения АД у взрослых имеет масса тела в детстве (Harlan W. et al.,1979). Авторы приходят к выводу, что снижение массы тела в детстве может обеспечить надежное и эффективное предупреждение гипертензии у взрослых [2].

Многофакторный анализ, проведенный на основании данных Международного кооперативного исследования по ювениальной артериальной гипертонии, показал, что длина, масса тела и ЧСС являются наиболее значимыми независимыми переменными, вносящими вклад около 20% в вариацию уровня САД как у мальчиков, так и у девочек.

Анализируя экспериментальные данные можно наблюдать изменения в СР ССС и РС у одних и тех же людей в зависимости от эмоционального состояние или динамики рабочего дня.

Приложение 1

Для изучения устойчивости стационарных состояний без оценки в явном виде функциональных зависимостей измеряемых величин от времени широко применяется изображение зависимостей вход-выход на фазовой плоскости (ФП). Записывают функциональную зависимость от времени измеряемых величин, а потом проводят преобразование уравнений с целью получения прямых зависимостей входных величин от выходных, например, разделив одно уравнение на другое. Если первоначально мы имели пару уравнений

то после деления, мы получим уравнение . Такая обработка особенно удобна, когда приходится анализировать зависимости, выраженные нелинейными дифференциальными уравнениями.

Состоянию системы соответствует точка на фазовой плоскости, которую называют изображающей. Любая динамическая система может быть приведена в состояние покоя, в котором она может находиться достаточно продолжительное время; тогда на фазовой плоскости ей соответствует особая точка. Процесс движения на фазовой плоскости изображается фазовой траекторией. Вопрос при исследовании ОТ обычно ставится так: насколько состояние покоя устойчиво и естественно для этой системы. Если существует сколь угодно малая окрестность точки покоя, что бы в ответ на возмущения в системе запускались процессы возвращающие систему в точку покоя, говорят об устойчивой точке покоя (фазовые траектории входят в особую точку). Наоборот, если при сколь угодно малых отклонениях все процессы в системе приводят у увеличению этих отклонений, то точка неустойчива (фазовые траектории выходят из особой точки).

Все процессы на фазовой плоскости могут изображаться следующими траекториями, в зависимости от значения собственных значений матрицы для данной системы.

1. Узел. Собственные значения вещественны и имеют один знак: если они положительны, то узел неустойчивый, если отрицательны- узел устойчивый. Если имеем пару равных корней, то говорят о звездообразных узлах. Фазовые траектории в общем случае представляют собой кривые входящие или выходящие из особой точки, звездообразные узлы составляются пересечением двух прямых.

Таблица 5

Особые точки и траектории на фазовой плоскости

Тип точки	Собственные значения I1,2=A1,2+iB1,2				Фазовая траектория
	A1	B1	A2	B2
Неустойчивый узел	+	0	+	0
Устойчивый узел	-	0	-	0
Седловая точка	+	0	-	0
	-	0	+	0
Устойчивый фокус	-	+	-	-
Неустойчивый фокус	+	+	+	-
Центр	0	+	0	-

2. Седло. Собственные значения вещественны, но имеют различные знаки. Фазовые траектории представляют собой гиперболические кривые с двумя асимптотами, проходящими через особую точку. Асимптоты называют сепаратрисами фазовой плоскости. При движении вдоль одной из сепаратрис (АS) изображающая точка будет возвращаться в особую, все другие траектории будут уводить систему от особой точки. В таблице 5 показана трехмерная оболочка, соответствующая процессу и траектории на плоскости.

3. Фокус. Собственные значения комплексные, т.е. имеют вид I=AiB. Если А0, то фокус устойчивый; если А0, то фокус неустойчивый. Фазовые траектории представляют собой спирали начинающиеся (неустойчивый) или заканчивающиеся (устойчивый) в особой точке.

4. Центр. Если корни чисто мнимые (I= iB), то фазовые траектории представляют собой замкнутые кривые окружающие особую точку. Движение почти устойчиво, воздействие переводит изображающую точку на соседнюю траекторию, по которой она может двигаться устойчиво до следующего воздействия.

Типы особых точек и характеристики порождающих их собственных значений перечислены в таблице 5.

Лабораторная работа № 1.3