Задача № 19

Тяжелый круглый цилиндр А массы m обмотан посредине тонкой нитью, конец которой В закреплен неподвижно. Цилиндр падает без начальной скорости, разматывая нить. Определить скорость оси цилиндра, после того как эта ось опустится на высоту h, и найти натяжение Т нити.

Используем дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения

где момент инерции тяжелого круглого цилиндра

и

Кроме этого и поэтому получаем:

Решаем поэтому

Таким образом

Для определения скорости точки А решаем дифференциальное уравнение

преобразуем

Разделяем переменные и интегрируем

Задача № 20

Груз А массой М₁ опускается вниз по наклонной плоскости D, образующей угол α с горизонтом, приводит в движение посредством нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок С, груз В массой М₂. Определить горизонтальную составляющую давления наклонной плоскости D на выступ пола Е. Массой нити пренебречь.

Используем для решения задачи принцип Даламбера. К действующим силам добавляем силы инерции грузов.

Из равновесия груза В

Из равновесия груза А

поэтому получаем:

Рассматриваем равновесие наклонной плоскости и грузов (реакция N – внутренняя сила)

Задача № 21

В центробежном тахометре два тонких однородных прямолинейных стержня длины а и b жестко соединены под прямым углом, вершина которого О шарнирно соединена с вертикальным валом; вал вращается с постоянной угловой скоростью ω. Найти зависимость между ω и углом отклонения φ, образованным направлением стержня длины а и вертикалью.

С огласно принципу Даламбера разбиваем каждый стержень на бесконечно малые элементы и прикладываем к каждому элементу силу инерции

составляем уравнение суммы моментов относительно точки О:

,

где

=

Таким образом с учетом, что ; ; ;

,

а с учетом, что и получаем

Задача № 22

К вертикальной оси АВ, вращающейся равноускоренно с угловым ускорением ε, прикреплены два груза С и D посредством двух перпендикулярных оси АВ и притом взаимно перпендикулярных стержней CO = OD = r. Определить силы динамического давления оси АВ на подпятник А и подшипник В. Грузы С и D считать материальными точками массы М каждый. Массами стержней пренебречь. В начальный момент система находится в покое. Оси х и y неизменно связаны со стержнями.

С огласно принципу Даламбера в точках С и D прикладываем силы инерции:

,

где угловая скорость стержня при равноускоренном движении без начальной скорости.

Составляем уравнения суммы проекций на оси координат:

Из суммы моментов относительно осей

Получаем