4.4. Определение перемещений балок методом начальных параметров. Расчеты на жесткость при изгибе.

Элементы конструкций, работающие на изгиб должны быть не только прочными, но и жесткими. Изучение перемещений балок важно для расчета их на жесткость.

Рис.23

Под действием внешней нагрузки каждое сечение балки при изгибе перемещается перпендикулярно ее оси и поворачивается вокруг нейтральной линии сечения на угол . Линейное перемещение у центра тяжести сечения называется прогибом. Наибольший прогиб обозначается буквой f. Угол поворота равен углу между первоначально проведенной осью и касательной к изогнутой оси в данной точке (рис.23).

Условия жесткости балки при изгибе записываются в виде

f_max [f] _max≤[ ].

Допускаемый прогиб назначают в долях пролета балки ℓ.

Для валов машин [f]=(0,0002…0,005) ℓ для перекрытий в зданиях

( … ) длины пролета ℓ.

Величины прогибов и углов поворота можно определять различными методами. При наличии нескольких участков применяют метод начальных параметров с использованием универсальной формулы

Здесь у₀ φ₀ – так называемые начальные параметры, или прогиб и угол поворота сечения в начале координат.

m, F, q – внешние сосредоточенные моменты, сосредоточенные силы (включая и опорные реакции) и распределенные нагрузки, приложенные только слева от рассматриваемого сечения, т.е. на участке между сечением и началом координат.

, , с и d – абсциссы соответственно точек приложения сосредоточенных моментов и сил, начала и конца каждого участка, загруженного равномерно распределенной нагрузкой.

Универсальная формула предполагает соблюдение ряда правил:

• начало координат располагают на левом конце балки;

• если равномерно распределенная нагрузка q не доходит до сечения, в котором определяется перемещение, то ее продолжают до этого сечения, но добавляют такую же равномерно распределенную (компенсирующую) нагрузку противоположного знака на участке, где она отсутствует.

• каждое слагаемое принимают со знаком, соответствующим знаку изгибающего момента в сечении Z от этого силового воздействия.

Два начальных параметра у₀ φ₀ находят из следующих условий закреплений балки:

• в заделке прогиб и угол поворота сечения равны нулю (рис.24а и б)

• в шарнирных опорах прогибы равны нулю (рис. 24 в и г).

а

б

в

г

	При при Z=0 1)y0=0 2) =0
	При Z=ℓ y0=0 2) =0
	при Z=0 y0=0 при Z=ℓ YВ=0
	при Z =C YA=0 при Z=c+ℓ YВ=0

Рис.24

Задача 15.

Подобрать из условия жесткости сечение стальной двутавровой консоли (рис.25) вылетом ℓ=2м, нагруженной по всей длине равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q=4кн/м. допускаемый прогиб [f]= . Модуль упругости E=2 10⁵МПа.

Рис.25

Решение.

Определим опорные реакции. От заданной нагрузки в заделке возникают реакция R_A и реактивный момент m_A.

Начало координат располагаем на левом конце балки. Значения реакций определяем в общем виде, выражая их через q и ℓ.

Условия равновесия имеют вид:

1. Алгебраическая сумма проекций всех сил, действующих на балку, равна нулю.

ΣFiy=R_A-qℓ=0; R_A=qℓ.

2. Алгебраическая сумма моментов всех сил относительно центра тяжести любого сечения балки равна нулю

ΣМ_А(F_i)=m_A-qℓ

Проверка. ΣМ_в(F_i)=-R_aℓ+m_А+qℓ =-qℓℓ + =0 , т.е. опорные реакции определены правильно.

Воспользуемся методом начальных параметров для определения прогиба f на конце балки в т. В.

Граничные условия для заданной схемы при Z=0; у₀=0, φ₀=0, так как заделка ограничивает перемещение балки в вертикальном направлении и не допускает поворота поперечного сечения в заделке. Последнее слагаемое в универсальном уравнении обращается в нуль, так равномерно распределенная нагрузка доходит до сечения, в котором определяется прогиб, т.е. нагрузка противоположного знака отсутствует.

Таким образом, слева от точки B, в которой определяем прогиб, действуют сосредоточенный момент m_А, сосредоточенная сила R_A и равномерно распределенная нагрузка q. Знаки слагаемых от этих нагрузок принимаем по знаку изгибающего момента в сечении В от их силового воздействия. Сосредоточенный момент изгибает балку выпуклостью вверх – знак "-", сосредоточенная сила R_A выпуклостью вниз – знак "+", равномерно распределенная нагрузка выпуклостью вверх – знак "-".

Абсцисса точек приложения всех сил Z=0, т.к. силы R_A и момент m_A приложены в начале координат, а равномерно распределенная нагрузка имеет начало в т.А.

С учетом граничных условий, приложения внешних сил и знаков слагаемых универсальное уравнение принимает вид:

Ув= -

Подставляя значения m_A и R_A, получим:

Ув = =-

Таким образом, прогиб по абсолютной величине определяется по формуле:

f_В=Ув=

Условие жесткости запишите в следующем виде:

f_max ≤[f] или

Отсюда выражаемый требуемый момент инерции сечения:

Подставляя численные значения q=4кН/м, =2 м и Е=2 10⁵МПа, получаем

4000000 мм⁴=400 см⁴.

Принимаем I№12 J_x=350 см⁴<400 см⁴.

Принятый двутавровый профиль имеет момент инерции на 12,5% меньше расчетного. Следующий профиль I №14 имеет J_x=572 см⁴, что на 43% превышает расчетный.

Задача 16.

Проверить жесткость деревянной балки нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q=0,5кН/м по все длине. Модуль упругости

Е=1 10⁴н/мм². Допустимый прогиб [f] = . Пролет балки =4м. Размеры сечения А=вхh=150  200мм².

Решение.

Реакции опор, в силу симметрии, равны между собой

R_A=Rв =

Начало координат выбираем в левом конце балки в т.А.

Воспользовавшись универсальным уравнением изогнутой оси балки, составим выражение для определения прогиба в т.С. Левее точки С на балку действует реакция R_A и равномерно распределенная нагрузка q, которые относительно сечения С дают, соответственно, положительный и отрицательный момент.

Граничные условия для балки:

При Z=0 у_А=0, но φ₀≠0

При Z=ℓ у_в=0

Выражение для прогиба в сечении С принимает вид:

Так как φ₀ неизвестно, то для его определения воспользуемся граничным условием, что при Z=ℓ, Ув=0. т.е. прогиб на правой опоре равен нулю. Определяем прогиб в сечении В, используя то же универсальное уравнение: при Z=ℓ

Рис.26

Ув=φ₀ℓ+

Подставляя значение R_A, получим

отсюда φ₀=- ; φ₀=

Подставим значение φ₀ в выражения для Ус.

Имеем:

Ус=

Итак, f=Ус=

Вычислим момент инерции для прямоугольного сечения. Момент инерции прямоугольника относительно оси х равен:

Jx= =10000 см³.

Подставим заданные значения q, ℓ, E, Jx в выражение для f. Получаем:

f=

Допускаемый прогиб [f]=

Жесткость балки обеспечена.