3. Построение эпюры изгибающего момента.

Участок I-I 0≤ ₁≤2

Изгибающий момент в сечение I-I равен М_I=-М=-20 кНм.

Эпюра М – прямая параллельная оси, т.е. изгибающий момент имеет постоянное значение.

Участок II-II 2≤ ₂≤5

М_II=-М-F( ₂-2)-q( ₂-2)

M_{II, 2=2}=-M=-30 кНм

M_{II, 2=5}=-30-12 3-20 кНм

На этом участке М_II парабола, т.к. в уравнении z входит во второй степени.

Участок III-III 5≤ ₃≤6

М_III=-М-F( ₃-2)-q( ₃-3,5)

M_{III, 3=5}=-30-12 3-30 3 1,5=-156 кНм

M_{III, 3=6}=-30-12 4-20 3 2,5=-78-155=-228 кНм.

Рис.16

Итак, момент в заделке равен 225 кНм, что свидетельствует что вычисление его выполнено правильно, так как он дожжен быть равен реактивному моменту в заделке, который тоже равен 225 кНм.

По полученным данным значениям строим эпюру М, которая представлена на (рис16в).

Задача 9.

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки жестко защемленным одним концом и нагруженной как показано на (рис.17а)

Решение.

В заданной балке возникают две реакции: в заделке вертикальная R_А и реактивный момент m_А. Для данной конкретной задачи не требуется обязательное предварительное определение реакций R_А и m_А в заделке, так как их значение полученное из уравнения равновесия будут рассчитаны также из аналитических выражений Q и M. Однако сравнение этих значений обеспечит контроль правильности их определения. Реакция и реактивный момент в заделке численно равны поперечной силе и изгибающему моменту в этом сечении.

Изображаем расчетную схему (рис.17а).

Определяем реакции опор. Первоначально выбираем произвольное направление реакций. Если в результате вычисления какая-либо реакция получилась отрицательной, то нужно или изменить ее направление на противоположное или подставлять с отрицательным знаком в уравнение поперечных сил и изгибающих моментов.

Составим два уравнения равновесия:

6. ΣF_iy =RА-q2+F=0; R_А=30 кН

7. ΣM_A(F_i)=m_A-M-q2 2+F5=0; m_A=60кНм

По правилам статики опорные реакции определяются с обязательной их проверкой, так как ошибки, допущенные в определении реакций, обязательно проявляются при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Для проверки используем уравнение ΣM₀(F_i)=0

-R_А 5+m_А-M+q 2 3=-30 5+60-30+120=0, следовательно, опорные реакции определены правильно.

Построение эпюры поперечных сил Q. Заданную балку разбиваем на три участка, отделенные друг от друга действующими внешними сосредоточенными силами, парами сил и равномерно распределенной нагрузкой. Заметим, что реакции относятся к числу внешних сил. Эти участки указаны на (рис.17а).

Рис. 17

Следует иметь ввиду, что характерные сечения в консольной балке целесообразно выбирать от одной точки – свободного конца балки и очень важно правильно определять пределы изменения координаты на каждом участке, т.е. значение координаты на последующем участке должно совпадать со значением на конце предыдущего участка. Вычисляем значения поперечной силы в каждом характерном сечении.

I участок 0≤ ₁≤2

Поперечная сила на всем I участке Q_I=-F=-10 кН, Q_I=const так как на правую отсеченную часть балки действует одна сила F, которая сдвигает правую часть балки вверх.

II участок 2≤ ₂≤4

Рассечем балку плоскостью на расстоянии ₂ от свободного конца балки. Справа от сечения II-II действует сосредоточенная сила F, которая сдвигает правую часть балки вверх и равномерно распределенная нагрузка q, сдвигающая балку вниз и действующая на длине ₂-2.

От первого слагаемого поперечная сила отрицательная, от второго – положительна. Следовательно:

Q_II=-F+q( ₂-2)

Из этого выражения видно, что поперечная сила изменяется по закону прямой линии:

Q_II,x2-2=-F=-10 кН

Q_II,х2=4=-F+q(4-2)=-10+20 2=30 кН

III участок 4≤ ₃≤5

Справа от сечения III-III действуют сосредоточенная сила F, сдвигающая правую часть балки вверх, сосредоточенный момент М, который не даёт проекции на ось y и распределенная нагрузка q, приложенная на длине два метра и сдвигающая отсеченную часть балки вниз.

Поперечная сила на участке III-III

Q_III=-F+q 2=30 кН

Выражение Q_III не зависит от координаты z₃, т.е. Q_III=const.

Поперечная сила в заделке оказалась равной реакции R_A, что подтверждает правильность определения значения Q. По найденным значениям строим эпюру поперечных сил (рис.17б) на первом и третьем участках Q=const, эпюры поперечных сил – прямые параллельные оси балки. На втором участке действует равномерно распределенная нагрузка, значит на эпюре Q будет линейная зависимость (наклонная прямая, строящаяся по двум концевым точкам).

Построение эпюры М. При определении изгибающих моментов характерные сечения остаются прежними.

I участок 0≤ ₁≤2.

Справа от сечения I-I действует одна сила F, которая изгибает отсеченную часть балки выпуклостью вниз, т.е.

М_I=F ₁

С увеличением z₁ момент возрастает, причем закон изменения как видно из записанного уравнения, выражается линейной зависимостью

M_{I, =0} =0; M_{I, =2}=10 2=20 кНм.

II участок 2≤ ₂≤4

Изгибающий момент на этом участке зависит от сосредоточенной силы F и равномерно распределенной нагрузки, действующих справа от сечения. Сила F изгибает балку выпуклостью вверх, а равномерно распределенная нагрузка выпуклостью вниз. Равномерно распределенная нагрузка действует на длине ( ₂-2) с центром тяжести посредине этой длины, т.е. q( ₂-2). Изгибающий момент от этой нагрузки определяется как произведение q( ₂-2) на расстояние до сечения, которое равно . С увеличением ₂ момент возрастает, причем эпюра М_II выражается квадратной параболой (абсцисса ₂ входит во второй степени). Вершина параболы будет находиться в сечении, где Q=0, значение М на данном участке будет экстремальным,

т.к. Q= = 0

Находим производную от М_II.

; F-q ₂+q2=0, откуда

₂=

Следовательно точка, в которой находится вершина параболы расположена на расстоянии ₂=2,5м от свободного конца балки (рис.17 б).

Изгибающий момент в этой точке определяем, подставляя z₂ в выражение момента М_II

M_{II, 2=2,5}=10 2,5-20 кНм

Определяем изгибающие моменты на концах участка II-II.

М_{II, 2=2}=10 2-20 0=20 кНм

М_{II, 2=4}=10 2-20

Мы имеем три точки для построения параболы.

Участок III-III 4≤ ₃≤5

Изгибающий момент на этом участке определяется из условия, что левая часть балки отброшена, а на правую часть ее действуют силы F, равномерно распределенная нагрузка q и сосредоточенный момент М. Сила F изгибает балку выпуклостью вниз, равномерно распределенная нагрузка и момент М выпуклостью вверх. Причем равномерно распределенная нагрузка действует на длине два метра, приложена посредине этого участка и ее расстояние до сечения равно ₃-3.

М_III=F ₃-q 2( ₃-3)-M.

Изгибающий момент изменяется по линейному закону, т.е. эпюра представляет собой наклонную прямую линию. Для определения изгибающего момента в концевых точках определяем М_III при ₃=4м и ₃=5м.

М_{III, 3=4}=10 4-202(4-3)-30=40-40-30=-30 кНм.

М_{III, 3=5}=10 5-202(5-3)-30=50-40 2-30=-60 кНм.

Значение М_III, определенное в заделке оказалось равным реактивному моменту m_А, что свидетельствует о правильном определении М_III.

Опасное сечение балки находится в заделке, где =60 кНм.

По найденным значениями строим эпюру изгибающих моментов, которая показана на (рис.17в).

Отметим общие правила построения и проверки эпюр Q и М.

1. Составляем расчетную схему балки с изображением действующих на нее нагрузок.

2. Отбрасываем опоры, а их действие на балку заменяем соответствующими реакциями; указываем обозначения реакций и принятые направления.

3. Составляем уравнения равновесия, решаем их и определяем опорные реакции.

4. Разбиваем балку на участки; границами участков являются точки приложения заданных сосредоточенных сил и моментов, а также точки начала действия, окончания действия или изменения характера распределенной нагрузки.

5. Составляем аналитические выражения поперечных сил и изгибающих моментов. На расчетной схеме указывается начало и направление отсчета абсциссы произвольного сечения на каждом участке. Если сечений несколько, то часть сечений отсчитывается от левого конца балки, другая от правого. По полученным значениям вычисляются ординаты эпюр Q и М для ряда сечений балки в количестве, достаточном для изображения этих эпюр. Если в каком-либо сечении Q и М достигают максимума, то определяют значение последнего.

6. Если на каком-либо участке М меняется по криволинейному закону, то определяется его значение, по крайней мере, в одной промежуточной точке участка.

7. Определяются сечения, в которых действует Мmax и Мmin и вычисляются значения этих моментов.

8. По полученным значениям ординат строим эпюры.

9. Производим проверку построенных эпюр Q и М.

На основе дифференциальных зависимостей; ;

Из разобранных примеров составим общие правила контроля правильности построения эпюр Q и М.

1. На незагруженных участках балки (рис.17а) рассматриваемой задачи, участки I и III эпюра Q – ограничена прямой параллельной оси абсцисс, а эпюра М – наклонной прямой линией. В самом деле, если отсутствует распределенная нагрузка, то

, откуда Q=const (уравнение прямой параллельной оси z).

Используя вторую дифференциальную зависимость ,

Имеем М=∫Qd , или выполнив интегрирование получаем

М=Q – уравнение наклонной прямой.

2. На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой рис.16а, сечение II-II, эпюра Q изображается прямой, наклоненной к оси бруса, а эпюра изгибающего момента изменяется по закону квадратичной параболы (рис.17 б), участок II. Выпуклость параболы направлена навстречу нагрузке.

Действительно, если q=const=20кН/м, то согласно дифференциальной зависимости

Произведем интегрирование Q=q (уравнение наклонной прямой, участок II, (рис.17б)).

Используя зависимость находим М

(уравнение квадратной параболы, (рис. 17 б), сечение II-II).

3. Для участка балки, в сечениях которого поперечная сила положительна, изгибающий момент М возрастает (при перемещении по эпюре, слева направо; если Q – отрицательна, М – убывает

(рис17, схема б и в).

4. В сечении балки, где приложена сосредоточенная сила, эпюра поперечных сил меняется скачкообразно на значение, равное приложенной силе, а на эпюре М – перелом, острие которого обращено в сторону действия силы. Скачок на величину сосредоточенной силы обусловлен тем, что как только, перемещаясь вдоль балки слева направо, минуем точку приложения сосредоточенной силы, ее проекция войдет в алгебраическую сумму проекций всех сил, приложенных слева (рис.17 б. В точке А – поперечная сила равна реакции R_А=30 кН, в точке О поперечная сила равна F=10 кН).

5. В сечениях балки, где приложены сосредоточенная пара сил, поперечная сила не изменяет своего значения, а изгибающий момент меняется скачкообразно на значение, равное моменту приложенной пары (рис.17 в) в точке Д.

6. Если на каком-либо участке балки изгибающий момент имеет постоянное значение, то поперечная сила равна нулю, и, следовательно, на этом участке балка подвергается чистому изгибу.

В самом деле, если М=const, то согласно дифференциальной зависимости Q=

7. В случае криволинейной эпюры М в точке, где эпюра поперечной силы проходит через нуль, меняя знаки с “+” на “-“ или с “-“ на “+”, изгибающий момент принимает экстремальное значение. Если знак Q изменяется с плюса на минус (при перемещении по эпюре слева направо), эпюра М в этом сечении имеет максимум, если знак Q изменяется с минуса на плюс, на эпюре М минимум (рис.17в).

8. В жестко закрепленном сечении реакции опоры и реактивный момент численно равны Q и М в этом сечении.

9. Начальные и конечные значения на эпюрах Q и М должны совпадать со значениями сосредоточенных сил и пар, приложенных к концам балки, с учетом правила знаков. В крайних сечениях двухопорной балки не нагруженной внешним моментом, М=0.

Рассмотрим построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для двухопорных балок. К модели (или расчетной схеме) балки на двух опорах, наиболее распространенным в расчетной практике, сводится расчет осей, зубьев шестерен, конструкций, пролетов мостов, эстакад, машин, станков. Расчетная схема состоит из собственно самой балки, двух опор А и В, сосредоточенной равномерно - распределенной внешней нагрузки и сосредоточенных моментов.

Задача 10.

Построить эпюры Q и М для свободно лежащей балки пролетом ℓ, нагруженной сосредоточенной силой F (рис.18а).

Решение.

В двухопорной балке неподвижный шарнир накладывает два ограничения на перемещение балки; в горизонтальном и вертикальном направлении. Поэтому, в общем случае в шарнирно-неподвижной опоре возникают две реакции: горизонтальная R_Аz и вертикальная R_АУ.

Так как при поперечном изгибе вешние силы приложены перпендикулярно оси балки, то они не вызывают перемещения балки в горизонтальном направлении, поэтому, составляющая R_AZ=0 и в дальнейшем её не изображают на рисунке. В подвижной шарнирной опоре возникает одна вертикальная реакция Rв перпендикулярная опорной плоскости. Освободив балку от опор, заменив их действие на балку реакциями R_А и R_В, получим расчетную схему, показанную на (рис.18б).

При определении реакций двухопорных балок в сопротивлении материалов принято записывать уравнения равновесия в следующей форме:

1. Сумма проекций всех сил на ось балки (ось Z) равна нулю

ΣF_iZ=0 →R_АZ=0;

2. Сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю:

ΣМ_А(Fi)=-F a+R_В ℓ =0

3. Сумма моментов всех сил относительно опоры В равна нулю:

ΣМв(Fi)=-Fℓ R_Аℓ=0

Выбор, так называемой, второй формы уравнений равновесия, когда составляется сумма моментов всех сил относительно двух точек, и сумма проекций всех сил на ось обусловлены тем, что в каждом уравнении имеем по одному неизвестному.

Определяем из второго уравнения реакцию Rв= ; из третьего

R_А = ;

Рис.18

После определения реакций обязательно проверка. Для этого используется уравнение – сумма проекций всех сил на вертикальную ось у равна нулю.

Проверка:

F_iy =R_A – F + R_B = - F + = = 0

т.е. опорные реакции определены правильно.

Построение эпюры Q. Зная реакции, можно составить аналитические выражения для любого сечения балки. Разбиваем балку на два участка, границами которых является сечение, в котором приложена сосредоточенная сила F.

Участок АС 0≤Z₁≤а

Проводим сечение на расстоянии Z₁ от левой опоры и отбрасываем правую часть балки. На левую часть балки действует одна сила R_А, которая сдвигает левую часть балки вверх, причем она остается постоянной на протяжении всего участка от опоры А (Z₁=0) до сечения С (Z₁=а), где приложена сила F, так как в уравнении Q_I=R_A=F отсутствует переменная Z₁.

Следовательно, на рассматриваемом участке АС эпюра Q ограничена прямой параллельной оси балки.

Участок СВ: 0≤Z₂≤в

Сечение II-II на участке СВ проводим на расстоянии Z₂ от правой опоры. Справа от сечения действует реакция Rв, которая стремится сдвинуть балку вверх и в соответствии с правилом знаков для Q поперечная сила в этом сечении имеет знак минус и равна Q_II = -Rв= - ;

Значение поперечной силы на этом участке также постоянно на всем протяжении участка от сечения В(Z₂=0) до сечения С(Z₂=в), т.е и на этом участке эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси Z. Эпюра поперечных сил представлена на (рис.18в).

Проверим правильность построения эпюры Q по дифференциальной зависимости

Так как на участках АС и СВ отсутствует равномерно - распределенная нагрузка, т.е. q=0; , отсюда Q=const на обоих участках. В сечении С, где приложена сосредоточенная сила F на эпюре Q имеется скачок на величину силу F.

Таким образом, эпюра Q построена правильно.

Построение эпюры М. Аналитические выражения изгибающего момента на участке АС определяем, рассматривая левую часть балки, на которую действует реакция R_А, она изгибает левую часть балки выпуклостью вниз М_I=R_AZ_I= 0≤Z₁≤a

При Z₁=0 M_I=R_AZ₁= 0=0, т.е. на опоре А изгибающий момент равен нулю.

При Z₂=а M_II=R_A a= ;

т.е. изгибающий момент возрастает прямо пропорционально увеличению расстояния Z₁, достигая наибольшего значения в сечении С. Таким образом, на участке АС эпюра М ограничена наклонной прямой, так как уравнение М_I – уравнение прямой линии.

Участок СВ. Рассмотрим сечение II-II на расстоянии Z₂ от правой опоры. Закрепим мысленно балку в сечении II-II и приложим к правой части балки реакцию Rв, она будет изгибать отсеченную часть балки выпуклостью вниз и величина изгибающего момента в сечении II-II будет равна

М_II=RвZ₂= Z₂ ; 0≤Z₂≤в

Закон изменения изгибающего момента также выражается прямой линией.

При Z₂=0 М_II=0

При Z₂=в М_II=R_вв= ,

т.е. получили тоже значение момента, что и для предыдущего участка.

Эпюра М имеет вид треугольника высотой М_с=Мmax=F :

По найденным ординатам строим эпюру изгибающих моментов (рис.18г).

Опасным сечением будет сечение С, в котором изгибающий момент достигает максимального значения.

Задача 11.

Построить Эпюры Q и М для двухопорной балки, нагруженной по всему пролету равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис.19).

Решение.

Определение опорных реакций. В балке на двух опорах возникают две опорные реакции в точках А и В. Отбросив опоры А и В и заменив их реакциями R_А и R_В, получим расчетную схему (рис.19б)

Величина нагрузки на единицу длины балки (погонная нагрузка) равняется q. Полная нагрузка на балку составляет qℓ. Опорные реакции определяем из уравнений равновесия или из условий симметрии.

1. ΣМ_А(Fi)= - qℓ ℓ = 0 R_B =

2. ΣMв(F_i)= -R_A ℓ+q ℓ =0 R_А=

Проверяем правильность определения опорных реакций:

ΣF_Iy=R_A-qℓ+Rв= = 0

Реакции определены правильно.

Построение эпюры Q. Характер нагрузки по всей длине балки не меняется. Поэтому выберем сечение на расстоянии Z от левой опоры рис.18в. Поперечная сила в этом сечении равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на отсеченную часть балки. Реакция R_А стремится сдвигать левую часть балки вверх, поэтому берется со знаком "+", а равномерно распределенная нагрузка qz сдвигает вниз, этому слагаемому приписывают знак "-". Следовательно, поперечная сила в данном сечении Q=R_А-qz изменяется по линейному закону, т.к. это выражение является уравнением 1^ой степени. Определим ее значения в крайних сечениях балки:

При z=0 Q=R_А =

При z=ℓ Q= - qℓ = -

Рис.19

Поперечная сила в среднем сечении балки (при Z= )

Q =

По найденным ординатам строим эпюру поперечных сил (рис.19г).

Проверяем правильность построенной эпюры Q. В крайних сечениях балки поперечная сила равна опорным реакциям R_A и Rв и на эпюре Q имеются скачки поперечной силы. На длине балки Q изменяется по линейному закону, т.к. согласно дифференциальной зависимости , интенсивность равномерно распределенной нагрузки величина постоянная q=const, Q=∫qdz=qz – уравнение наклонной прямой линии.

Построение эпюры М. Изгибающий момент в произвольном сечении, отстоящем на расстоянии Z от левой опоры балки зависит от двух внешних сил: реакции R_A и равномерно распределенной нагрузки q. Закрепив, мысленно, балку в сечении, прикладываем силу R_A к отсеченной части балки и видим, что она изгибает балку выпуклостью вниз (рис.19д). Изгибающий момент от R_A – положителен. Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки qZ, приложенная на расстояние от сечения изгибает балку выпуклостью вверх, изгибающий момент от нее отрицателен (рис.19е).

Таким образом, учитывая знаки моментов, для сечения Z имеем

М=R_AZ-qZ 0,5q ℓ Z - 0,5q Z².

Полученное выражение представляет собой уравнение 2^ой степени - уравнение квадратной параболы (переменная Z входит во второй степени). Для построения эпюры изгибающего момента необходимо найти его значения не менее в трех сечениях балки, в крайних и в том сечении, где Q=0.

При Z=0 М=М_А=0

При Z=ℓ М=Мв=0,5q ℓ ℓ - 0,5q ℓ²=0

В данной задаче, в силу симметрии, максимальный изгибающий момент возникает в среднем сечении балки при Z=

М= ;

В тех случаях, когда вершина параболы расположена не под серединой балки, максимальное значение изгибающего момента определяется на основе дифференциальной зависимости , т.е. находится производная от изгибающего момента, приравнивается нулю, определяется абсцисса, в которой момент достигает максимального значения. Это значение абсциссы подставляется в уравнение изгибающего момента и определяется его максимальное значение на участке.

По найденным ординатам строим эпюру изгибающих моментов. Из эпюры М (рис.19 ж) видно, что в среднем сечении балки Q=0. В соответствии с известной дифференциальной зависимостью между функцией М и ее производной Q в этом сечении М достигает максимального значения, следовательно, это сечение является опасным.