4.2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Задача 5

Построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов для балки защемленной одним концом и нагруженной силой F на свободном конце балки (рис.11).

Решение

1. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов необходимо начинать с определения реакций опор, которые входят в число внешних сил.

Для балки защемленной одним концом реакции опор определяются для того, чтобы после построения эпюр М и Q выполнить проверку правильности их построения.

В заделке возникают вертикальная реакция R_А и реактивный момент m_А.

Для их определения целесообразно составлять два уравнения равновесия в следующей форме.

1. ΣFiy=0; R_А- F=0; R_А=F

2. ΣM_А(F_i)=0; M_А-Fℓ=0; M_А=Fℓ

2. Построение эпюры q.

Начало координат удобно выбирать на свободном конце балки. Разбивают балку на участки, отделенные друг от друга либо действующими сосредоточенными нагрузками, либо парами сил, либо границами участков, на которых расположена равномерно распределенная нагрузка. На (рис.11) балка имеет один участок между силами F и R_А. Проводим сечение I-I на расстоянии от начала координат и определяем поперечную силу в этом сечении Q_I=F. Поперечная сила положительна, так как она сдвигает правую часть балки относительно левой вниз. Так как Q постоянна на всей длине балки, то ее эпюра изображается прямой, параллельно оси балки.

На построенной эпюре указывают знаки и значение характерных ординат, после чего ее заштриховывают перпендикулярно оси балки. Каждая ордината в принятом масштабе характеризует величину поперечной силы в соответствующем сечении (рис.11б).

3. Построение эпюры М. Рассмотрим сечение на расстоянии от начала координат и определим для него изгибающий момент, т.е. составим алгебраическую сумму моментов всех внешних сил, приложенных справа от сечения (рис.12). Справа от сечения I-I действует только одна внешняя сила F, которая изгибает балку выпуклостью вверх, поэтому аналитическое выражение изгибающего момента имеет вид М_I=-F , где изменяется

0≤ ≤ ℓ

M_{I, =0}=0; M_{I =ℓ}= -Fℓ

Таким образом изгибающий момент на свободном конце балки равен нулю, а в заделке он равен Fℓ, т.е. реактивному моменту, что подтверждает правильность определения этого момента из уравнения равновесия.

Уравнение изгибающего момента на участке I-I представляет собой уравнение первой степени – уравнение прямой линии (переменная х входит в первой степени).

Итак, на участке АО (рис.11в) эпюра М ограничена прямой, имеющей нулевую ординату на конце балки в точке О и ординату Fl в заделке.

Рис.11

Рис. 12

На построенной эпюре указываются знаки и значения наиболее характерных ординат. В данном случае они отрицательны на всем участке. После чего эпюра заштриховывается линиями, перпендикулярными к оси балки.

Эпюра М дает возможность определить в принятом масштабе величину изгибающего момента в любом сечении балки, измерить ординату, соответствующую данному сечению (рис.11в).

Опасным является сечение в заделке, поскольку здесь возникает наибольший изгибающий момент M _max=

Задача 6.

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки защемленной одним концом и нагруженной парой сил с моментом М на свободном конце (рис.13а).

Решение.

1. Определение опорных реакций. Составляем уравнение равновесия в форме:

4. ΣFiy=R_А=0; R_А=0

5. ΣM_А(F_i)=m_А-M=0; m_А=M.