2. Примеры расчета врубок на растяжение, срез и смятие.

Задача 14.

Деревянный брус квадратного сечения, а = 180 мм (рис.16.) подвешен на двух горизонтальных прямоугольных балках и нагружен растягивающей силой F = 40 кН. Для крепления на горизонтальных балках в брусе выполнены две врубки до размера в = 120 мм. Определить возникающие в опасных сечениях бруса напряжения растяжения, среза и смятия, если с = 100 мм.

Решение.

Под действием силы F в брусе, ослабленном с двух сторон врубками возникаем растягивающее напряжение σ. В опасном сечении, размеры которого А_р = в·а = 120·180 = 21600 мм². Нормальное напряжение σ, учитывая, что внутренняя сила N в сечении равна внешней силе F равно:

Касательные напряжения скалывания τ_ск возникают в двух опасных сечениях от давления горизонтальных балок на вертикальный брус, под действием силы Q = F. Эти площадки расположены в вертикальной плоскости, их величина А_ск = 2·с·а = 2·100·180 = 36000 мм².

Вычисляем напряжения скалывания, действующих на этих площадках:

Напряжение смятия σ_см возникает от действия силы F в двух опасных сечениях вертикального бруса в верхней части горизонтальных балок, оказывающих давление на вертикальный брус. Их величина определяется А_см = а·(а-в) = 180·(180-120) = 180·60 = 10800 мм².

Напряжение смятия

Задача 15.

Определить необходимые размеры врубки «прямым зубом». Соединение показано на (рис. 17). Сечение брусьев квадратное, растягивающая сила F = 40 кН. Допускаемые напряжения для древесины имеют значения: на растяжение [σ_р]= 10МПа, на скалывание [τ_ск]= 1МПа, на смятие [σ_см] = 8 МПа.

Решение.

Сопряжения элементов деревянных конструкций – врубки рассчитываются на прочность из условия их работы на растяжение,

скалывание и смятие. При достаточной величине сил F, действующих на врубку прямым зубом (рис. 17.), может произойти скалывание по сечениям de и mn, по этим сечениям возникают касательные напряжения, величина которых определяется в предположении их равномерного распределения по площади сечения. Площадь сечения de или mn А_ск = а·с.

Условие прочности имеет вид:

отсюда, , или а·с = 4000 мм² (1)

В вертикальной стенке зуба на площадке mе имеет место деформация смятия. Площадь сечения, по которой может произойти смятие А_см = в·а.

Из условия прочности на смятия:

имеем или в·а = 5000 мм² (2)

Исходя из разнопрочности деталей А и В, разрыв их может произойти по сечению, площадь которой .

Условия прочности на растяжение имеет вид:

откуда мм², или (3)

В результате получим систему уравнений: 1, 2, 3.

а·с = 4000

в·а = 5000

(4)

Выполнив преобразование в третьем уравнении системы (4), получим:

а ·с = 4000

в·а = 5000 (4¹)

а² - а·в = 8000

уравнение (3) системы (4¹) принимает вид а² = 8000+а·в = 8000+5000 = 13000 отсюда а = = 114 мм;

из уравнения (2) системы (4¹) ;

из уравнения (1) системы (4¹) .

Ответ: а = 114 мм; в = 44 мм; с = 351 мм.

Задача 16.

Соединение стропильной ноги с затяжкой выполнено с помощью лобовой врубки (рис. 18.). Определить необходимые размеры (х, х₁,y), если сжимающее усилие в подкосе равно F=60 кН, угол наклона крышки α = 30^о, размеры сечения брусьев h = 20 см, в = 10 см. Допускаемые напряжения приняты: на растяжения и сжатие вдоль волокон [σ] = 10 МПа, на смятие поперек волокон [σ_см] = 8 МПа, на смятие вдоль волокон [σ₉₀] = 2,4 МПа и на скалывание вдоль волокон [τ_ск] = 0,8 МПа. Проверить также прочность стропильной ноги на сжатие и затяжки в ослабленном месте сечения на растяжение.

Решение.

Определяем усилия, действующие по плоскостям врубки. Для этого раскладываем силу F на вертикальную составляющую F₁ и горизонтальную составляющую F₂, получим

F₁ = F sinα = 60·0,5 = 30 кН.

F₂ = F cosα = 60·0,867 = 52,02 кН.

Эти силы уравниваются реакцией опоры R = F₁ и растягивающим усилием в затяжке N = F₂. Сила F₁ вызывает смятие затяжки по площади опирания на опорную подушку (перпендикулярно к волокнам). Условия прочности на смятие:

откуда , т.к. А_см =х₁·в, то

Конструктивно она принимается значительно больше. Глубину врубки y определяем из условия, что сила F₂ вызывает смятие по вертикальной упорной, и площадке А_см = у·в в местеконтакта торца строительной ноги с затяжкой. Из условия прочности на смятие имеем:

т.к. А_см =у·в, то .

Конец затяжки испытывает скалывание вдоль волокон под действием этой же горизонтальной силы F₂. Длину х затяжки, выступающую за врубку, определим из условия прочности на скалывание:

т.к. τ_ск = 0,8 МПа, . Площадь скалывания А_ск= в·х

Следовательно, в·х = 65000, откуда .

Проверим прочность строительной ноги на сжатие:

прочность обеспечена

Проверим прочность затяжки в ослабленном сечении:

т.е. прочность обеспечена.