13.Теорема про подільність суми двох цілих невід’ємних чисел.

Теорема. Якщо кожний доданок ділиться на натуральне числоn, то їх сума ділиться на це число.

Доведення.

Нехай числа а і b дiляться на n. Якщо а: n, то iснує таке число q, що а = n *q.З того, що b : b слідує , що iснує таке ціле невiд'емне число р, що b = n*р. Знайдемо сумУ чисел: а+ b=n * q + n * p= n * (q+p)= n *t, дet=q+р-цiленевiд'емне число. Зрiвності а + b=n * tвипливае, щочисло а + bдiлиться наn. Теорему можна довести i для будь-якоїкiлькостiдоданкiв.

14.Теорема про подільність різних двох цілих невідємних чисел. Якщо числа а і b діляться на n і а більше рівне b ,то їх різниця ділиться на це число.НАСЛІДОК:якщо в сумі хоч один із додатків не ділиться на число m,то й уся сумма не ділиться на це число.ДОВЕДЕННЯ: Нехай S = + + +… +с і відомо що, ⁞ , ⁞ …., ⁞ m,але с ⁞ m. Припустимо що S ⁞ mза припущенням ,( + + +…+ )⁞mза теоремою про подільність суми на число,бо ⁞ ⁞ …, ⁞ m, то c ⁞ m, що суперечить умові. Отже припущення неправильне ,тобто S ⁞ m.

15.Теорема про подільність добутку цілих невідємних чисел на число. Якщо один із множників ділиться на натуральне число n,то й весь добуток ділиться на це число.ДОВЕДЕННЯ:Нехай один із невідємних множників ,наприклад а ,ділиться на натуральне число n . Якщо а : n ,то існує таке ціле невідємне число q, що а = n ∙ q. Дмножимо обидві частини рівності b : a ∙ b = (n ∙ q) ∙ b,звідки a ∙ b = n ∙ (q ∙ b),але q ∙ b – ціле невідємне число ,отже ,a ∙ b ⁞ n.

16. Ознака подільності на 2 в дес. с-мі числення.

Для того щоб, число х ділилось на 2, необхідно і достатньо, щоб його десятковий запис закінчувався однією із цифр 0, 2, 4, 6, .

Необхідна умова: Якщо запис числа закінч. цифрою 0, 2, 4, 6, 8, то це число ділиться на 2.

Д ано:х=а_n ∙10ⁿ+a_n-1∙10^n-1+…+a₁∙10+a₀, де a_n=0, a_n, a_n-1, … ,a₁ набуває значень 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, а₀ € 0,2,4,6,8 .

Довести: х:2. Доведення

X= а_n∙10ⁿ+a_n-1∙10^n-1+…+a₁∙10+a₀=(a_n∙10^n-1+а_n-1∙10^n-2+…+a₁) ∙10+a₀.

10:, то за теоремою про подільність добутку натуральне число ((a_n∙10^n-1+а_n-1∙10^n-2+…+a₁) ∙10):2.

0:2, 2:2, 4:2, 6:2, 8:2, тобто a₀:2. За теоремою про подільність суми на натуральне число х:2.

Достатня умова: Якщо число діл-ся на 2, то його десятковий запис закінчується цифрою 0,2,4,6,8.

Дано: х=а_n ∙10ⁿ+a_n-1∙10^n-1+…+a₁∙10+a₀, де a_n=0, a_n, a_n-1, … ,a₁ набуває значень 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, х:2.

Д овести: а₀ € 0,2,4,6,8 .Доведення

X = а_n∙10ⁿ+a_n-1∙10^n-1+…+a₁∙10+a₀, звідки а₀=х-( a_n∙10^n-1+а_n-1∙10^n-1+…+a₁ ∙10)=х-10 ∙ (a_n∙10^n-1+а_n-1∙10^n-2+…+a₁). За умовою теореми Х:2 також ділиться на 2, бо один із множників (10) ділиться на 2. Тоді за ознакою подільності різниці на натуральне число а₀:2. Переберемо усі одноцифрові числа, які діл-ся на 2 : 0,2,4,6,8. Отже а₀ € 0,2,4,6,8 .

0,2,4,6,8

17.Ознаки подільності на 5.

Для того щоб число х ділилося на 5 необхідно і достатньо ,щоб його десятковий запис закінчувався цифрою 0 і 5.Необхідна умова:Якщо запис числа закінчується на 0 і 5 ,то це число ділиться на 5. Дано х = ∙ + ∙ +…+ ∙ 10+ , ≠ 0, x ⁞ 5 . Довести: – (0,5) . Доведення = х = -( - + + +…+ ) ∙ 10 )⁞2. В одержанні різниці ,зменшуване х кратне 5. За умовою, від’ємник кратний 5. Тоді і вся різниця кратна 5. Звідси ⁞ 5. Отже, = 0,5. Теорема доведена.

18. Ознака подільності на 4.

Ознака подільності на 4. для того, щоб число х ділилось на 4, необхідно і достатньо, щоб на 4 ділилось двоцифрове число, утворене двома останніми цифрами десяткового запису числа х. Необхідна умова: якщо двоцифрове число, утворене двома останніми цифрами десяткового запису числа х, ділиться на 4, то й саме число ділиться на 4. Дано: х, (а_1*10₊а₀):4. Довести: х:4. Доведення: х=а_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+…+a₁*10+a₀=(a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+…+a₂*10²)+(a₁*10+a₀)=10²*(a_n*10^n-1+a_n-1*10^n-3+…+a₂)+(a₁*10+a₀). За умовою (a₁*10+a₀):4. 10²=100, 100:4, то (10²*(а_n*10^n-1+a_n-1*10^n-3+…+a₂)):4. Тоді за теоремою про подільність суми х:4. Достатня умова: якщо число х ділиться на 4, то на 4 ділиться двоцифрове число, утворене двома останніми цифрами десяткового запису числа х. Дано: х, х:4. Довести: (а*10+а₀):4. Доведення: x=a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+…+a₁*10+a₀=(a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+…+a₂*10²)+(a₁*10+a₀), звідки a₁*10+a₀=x-(a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+…+a₂*10²)=x-10²*(a_n*10^n-1+a_n-1*10^n-3+…+a₂). За умовою теореми х:4. 10²=100, 100:4, то (10²*(а_n*10^n-1+a_n-1*10^n-3+…a₂)):4 за ознакою подільності добутку. Отже, (а_1*10+а₀):4 за теоремою про подільність різниці.

22.НСД натуральних чисел,його властивості.Спільний дільник натур. чисел а і b наз. будь-яке натур. число,яке є дільником кожного з даних чисел.НСД натур. чисел а і b наз. найбільше число з усіх спільних дільників даних чисел.НСДпознач.Д(а,b),так Д(12,8)=4.

Властивості:

1.НСД(а і b) завжди існує і є єдиним числом.

2.Якщо а>b,то НСД(а і b)≤b.

3.НСД ділиться на будь-який спільний дільник а і b.

23.НСД натуральних чисел,алгоритм його знаходження.

1.Подати кожне число в канонічному вигляді.

2.Утворити добуток усіх спільних простих множників даних чисел,беручи їх з найменшим показником степеня.

3.Знайти значення цього добутку.

Наприклад:175 і 245.НСД(175;245)=5·7=35

175 5 245 5 175=5²·7

35 5 49 7 245=5·7²

7 7 7 7

1 1

24.НСК натуральних чисел,його властивості.

Спільним кратним натур. чисел.а і bназ. будь-яке натур. число,яке кратне кожному з даних чисел.НСК натур. чисел. а і b наз. найменше з усіх спільних кратних даних чисел.НСК познач. К(а і b),так К(6,18)=18.

Властивості:

1.НСК( а і b) завжди існує і є єдиним.

2.Якщо а>b,то НСК(а і b)≥а.

3.Будь-яке спільне кратне чисел а і b ділиться на НСК(а і b).Наприклад:НСК(6;24)=24

25. НСК, алгоритм його знаходження

Спільним кратним натур. чисел.а і bназ. будь-яке натур. число,яке кратне кожному з даних чисел.НСК натур. чисел. а і b наз. найменше з усіх спільних кратних даних чисел.НСК познач. К(а і b),так К(6,18)=18.

Алгоритм: 1. Подати кожне число в канонічному вигляді; 2. Утворити добуток усіх простих множників даних чисел; 3. Знайти значення цього добутку. (НСК (144; 180) = = 16 * 9 * 5 = 720)

26. Алгоритм Евкліда

Якщо а>b, a=b*q+r,де 0<r<b,то НСД(а;b) = НСД(b;r)

Перевіримо це для чисел 351 і 78

351 3 78 2

117 3 39 3

39 3 13 13

13 13 1

1

НСД (351; 78) = 3 * 13 = 39

3 51 78

312 4

39

НСД(78; 39) = 39

НСД(351;78)= НСД (78;39) = 39

Знаходження НСД (a; b) можна знаходж. НСД(b;r), де b<a, r<b

Таку заміну можна робити багато разів

Для натуральних чисел a і b при b<a: якщо поділити a на b з остачею , потім поділити b на одержану остачу , a потім поділити першу остачу на другу остачу ф т.д., то остання, відмінна від нуля остача і є НСД

чисел a і b.

27. Ознаки подільності на складені числа

Ознака подільності на 6. Для того, щоб число х ділилося на 6, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 2 і на 3. Доведення: Нехай число х:6. Число 6:2, тоді за властивістю транзитивності число х:2. З того, що число 6:3, виявляється, що х:3. Отже, для того, щоб число х:6, необхідно і достатньо щоб воно ділилося на 2 і на 3. Доведено обернене твердження, тобто достатню умову теореми. Якщо число х ділиться на2 і 3, а будь-яке кратне ділиться на найменше спільне кратне цих чисел, тобто х:К(2;3). Оскільки Д(2;3) = 1(числа 2 і 3 - взаємнопрості). А за властивістю К (a; b) = , то К(2;3) = , то К(2;3) = 2*3 = 6. Отже число х:6.

Ознака подільності на 12: для того, щоб число х:12, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 4

Ознака подільності на 15:для того, щоб число х:52, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 5.