1. Короткі історичні відомості про виникнення і розвиток способів запису цілих чисел

Система числення, у якій значення цифри залежить не тільки від її вигляду, а й від того, яке місце вона займає в зображенні (запису) числа називають позиційною.Переваги позиційної системи: наявність нуля; використання скінченної кількості знаків для запису і читання чисел; можливість виконання арифметичних дій. Приклади позиційної системи: десяткова, двійкова(0 = 0(2),1 = 1(2), 2 =10(2), 3 = 11(2); трійкова (3 = 10(3), 4 = 11(3). 5 = 12(3), 6 = 20(3)), четвіркова і інші. Запис чисел, відмінних від десяткової в системі р. Записом натурального числа х в системі числення з основою р називають його представлення у вигляді . (наприклад ).Непозиційні системи числення

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням.

Найпростішою непозиційною системою є система, алфавіт якої складається лише з одного символу, як привило палички. Кількість паличок і означає число. Також прикладами непозиційної системи є древньоєгипетська і римська система числення.

Римська система числення, в якій у якості цифр використовуються латинські букви:

I-1 ,V-5 ,X-10, L-50, C-100, D-500,M- 1000

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі. Римська система числення сьогодні використовується, в основному, для найменування знаменних дат, томів, розділів і глав у книгах.

Також виділяють і інші непозиційні системи числення,зокрема: Єгипетська система числення — непозиційна система числення, яка вживалася в Древньому Єгипті аж до початку X ст. У цій системі цифрами були ієрогліфічні символи; вони позначали числа1, 10, 100 і т. д. до мільйона. А також вавилонська система числення

2. Позиційні системи числення

Система числення, у якій значення цифри залежить не тільки від її вигляду, а й від того, яке місце вона займає в зображенні (запису) числа називають позиційною.Переваги позиційної системи: наявність нуля; використання скінченної кількості знаків для запису і читання чисел; можливість виконання арифметичних дій. Приклади позиційної системи: десяткова, двійкова(0 = 0(2),1 = 1(2), 2 =10(2), 3 = 11(2); трійкова (3 = 10(3), 4 = 11(3). 5 = 12(3), 6 = 20(3)), четвіркова і інші. Запис чисел, відмінних від десяткової в системі р. Записом натурального числа х в системі числення з основою р називають його представлення у вигляді . (наприклад ).Непозиційні системи числення

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням.

Найпростішою непозиційною системою є система, алфавіт якої складається лише з одного символу, як привило палички. Кількість паличок і означає число. Також прикладами непозиційної системи є древньоєгипетська і римська система числення.

Римська система числення, в якій у якості цифр використовуються латинські букви:

I-1 ,V-5 ,X-10, L-50, C-100, D-500,M- 1000

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі. Римська система числення сьогодні використовується, в основному, для найменування знаменних дат, томів, розділів і глав у книгах.

Також виділяють і інші непозиційні системи числення,зокрема: Єгипетська система числення — непозиційна система числення, яка вживалася в Древньому Єгипті аж до початку X ст. У цій системі цифрами були ієрогліфічні символи; вони позначали числа1, 10, 100 і т. д. до мільйона. А також вавилонська система числення

3.Запис і читання чисел в десятковій системі числення.Дес.сист.числ.-це система,в якій для запису використовується 10 знаків(цифр):0,1,2,3,4,5,6,7.8,9.Десятковим записом числа Х наз.його представлення у вигляді Х=аn ·10ⁿ+аn₋₁·10ⁿˉ¹ +…+а·10·а,де коефіцієнт аn,аn₋₁ …а₀,а₁ приймають значення0,12,3,4 і аn≠0.3 перших розряди в записі числа об’єднують в одну групу і наз. 1 класом чи класом одиниць(одиниці,десятки,сотні).Наступні 3розряди-клас тисяч (одиці тисяч,десятки тисяч,сотні тисяч).3 клас-мільйони(одиниці мільйонів…).4клас-більйони.5клас-трильйони.6клас-квадрильйони.7клас-квінтельйони.8клас-секстильйони.9клас-септильйони.10клас-октильйони.Наприклад:34567238,у цьому числі 34 мільйони 567 тисяч 238 одиниць.

4.Порівняння чисел в десятковій системі числення.

Записом натурального числа в системі числення з основою раз. Подання його у вигляді Х=аn·рⁿ+аn₋₁·рⁿˉ¹+…+а₁·р+а₀,деаn,аn₋₁…а₀набирають значення 0,1,4…р-1 і аn≠0.Наприулад:1101₂=1·2³+1·2²+0·2¹+1·2.Якщо числа Х і У-натуральні числа,запис яких виконана в десятковій системі числення:Х=аn ·10ⁿ+аn₋₁·10ⁿˉ¹ +…+а₁·10+а₀,У=bm·10m+ bm₋₁·10mˉ¹+…+b₁·10+b₀,то число Х<У,якщо виконано одна із умов:1)n›m,3424›3412)n=m,аn›bm, 5342›21233)n=m,аn=bm,…,аk=bk,

4321₅›4210₅.

28007

28007=2*10⁴+8*10³+7

5 . Додавання багатоцифрових чисел.

342+456=

1. Запис числа в десятковій системі числення:

(3*10²+4*10+2) + (4*10²+5*10+6)=

2. Сполучний закон додавання:

= 3*10²+4*10+2+4*10²+5*10+6=

3. Переставний закон і сполучний закон:

= (3*10² +4*10²)+( 4*10+5*10)+2+6=

4. Розподільний закон множення відносно додавання:

= (3+4)*10²+(4+5)*10+8=

5. Таблиці додавання:

=7*10²+9*10+8=

6. Десятковий запис числа:

= 798

6. відніманнябагатоцифрових чисел.

867 – 354 =

Десятковийзапис числа

= (8 *10² + 6 * 10 + 7) - (3 * 10² + 5 * 10 + 4) =

Відніманнясумивід числа

= (8 *10² + 6 * 10 +7) - 3 * 10² - 5 * 10 – 4 =

Віднімання числа відсуми

=( 8 *10² - 3 * 10² ) + (6 * 10 -5 * 10 ) + (7 - 4)=

Розподільний закон множеннявідноснододавання

(8 - 3) * 10² + (6 - 5) * 10 + 3 =

Таблицявіднімання

5 * 10² + 1 *10 + 3 = 513

7. множеннябагатоцифрових чисел

123 * 3 =

Запис числа вдесятковійсистемічислення

= (1 * 10² + 2 * 10 +3) * 3 =

Розподільний закон множеннявідноснододавання

= (1 * 10²)* 3 + (2* 10)*3 +3*3 =

Переставний і сполучний закон множення

= (1*3)* 10² + (2*3)*10 +9 =

Табличнемноження

3*10² + 6*10 + 9 = 369

8. Ділення багатоцифрових чисел

642: 2 =

Запис числа вдесятковійсистемічислення

= =

Розподільний закон діленнявідноснододавання

= =

Ділення добутку на число

=

Таблиця ділення

9. Позиційні системи числення. Алгоритм переходу х основою р.

Система числення, у якій значення цифри залежить не тільки від її вигляду, а й від того, яке місце вона займає в зображенні (запису) числа називають позиційною.Переваги позиційної системи: наявність нуля; використання скінченної кількості знаків для запису і читання чисел; можливість виконання арифметичних дій. Приклади позиційної системи: десяткова, двійкова(0 = 0(2),1 = 1(2), 2 =10(2), 3 = 11(2); трійкова (3 = 10(3), 4 = 11(3). 5 = 12(3), 6 = 20(3)), четвіркова і інші. Запис чисел, відмінних від десяткової в системі р. Записом натурального числа х в системі числення з основою р називають його представлення у вигляді . (наприклад ).

10.Дії над числами в різних позиційних системах числення ,відміних від десяткової.

Перш завсе для складання і множення однозначних чисел складають таблиці .Вони використовуються ,як при відніманні і ділення однозначних чисел ,так і при діях з багатозначними числами.Наприклад :таблиця складання однозначних чисел в трійковій системи числення.Однозначні числа в ній – це 0,1,2.Число 3изаписується .Число має вигляд =1*3+= .Аналогічним образом находим запис і других чисел в трїйковій системі.Таблицю додавання удобно уявити в такому виді ,де на перетині рядків стоїть сума.

	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	10
2	2	10	11

Використовуючи цю таблиці,можна складати любі числа в трійковій системі .Наприклад + = ,ви виконую додавання «стовпчиком».Цю таблицю можна використати при використання віднімання в трійковій системи - = .Таблиця множення однозначних чисел в трійковій системі

	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	11

На основі цієї таблиці і таблиці додавання виконується множення багатозначних чисел.122*22.Зпираючись на цю таблицю,виконуеться ділення числення,наприклад 10011:12=122.

11. Порівняння чисел, записаних в різних позиційних системах числення

Записом натурального числа в системі числення з основою раз. Подання його у вигляді Х=аn·рⁿ+аn₋₁·рⁿˉ¹+…+а₁·р+а₀,деаn, аn₋₁…а₀набирають значення 0,1,4…р-1 і аn≠ 0.Наприулад:1101₂=1·2³+1·2²+0·2¹+1·2.Якщо числа Х і У-натуральні числа,запис яких виконана в десятковій системі числення:

Х=аn ·10ⁿ+аn₋₁·10ⁿˉ¹ +…+а₁·10+а₀,

У=bm·10m+ bm₋₁·10mˉ¹+…+b₁·10+b₀,то число Х<У,якщо виконано одна із умов:

1)n›m,3424›341

2)n=m,аn›bm, 5342›2123

3)n=m,аn=bm,…,аk=bk, 4321₅›4210₅.

12.Поняття подільності, її властивості

Відношення подільності має ряд властивостей:

1)рефлективність;

2)антисеметричність;

3)транзитивність.

Теорема.Відношеня подільності рефлексивне(будь яке натуральне число ділиться саме на себе).

Доведення

Для будь якого числа справджується рівність а = а *1. Це означає, що існує таке число q=1, що а = а*1, звідки за означенням подільності випливає, що а ⁞а.

З теореми випливає, що будь яке натуральне число ділиться на 1.

Теорема. Відношення подільності антисиметричне.

Доведення

Припустимо, що b⁞ a. Для того щоб b ділилося на а, необхідно, щоб b≥ a. За умовою а⁞b, тобто, a ≥b. Нерівності a ≥b і b≥ a істинні тільки тоді, коли a =b. Але це суперечить умові. Припущення нге правильне, тобто відношення подільності антисиметричне.

Теорема. Відношення подільності транзитивне.

Доведення

Оскільки а⁞b, то існує таке ціле невід’ємне число q, що а = b * q; b ⁞ с, то існує таке ціле невід’ємне число t, що b = с * t. Підставимо у першу нерівність замість b добуток с t: а = (с * t) * q = с* (t * q)= с*р. Оскільки р ціле невід’ємне число, то рівність а= с* р означає, а⁞с.