42. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей двух генеральных совокупностей.
Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений. Пусть известны результаты двух серий независимых испытаний: в первой серии проведено n1 опытов, и событие А появилось m1 раз; во второй серии из n2 опытов событие А появилось m2 раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р1, а во второй серии — через р2. Требуется проверить при уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве этих вероятностей : : р1 = р2. В качестве критерия выбирается нормированная нормально распределенная случайная величина.
Построение критической области:
а) при конкурирующей гипотезе Н1: р1 ≠ р2 кр определяется из равенства, и двусторонняя критическая область задается неравенством | | > кр., состоит из интервалов (-∞; кр.лев.α/2) и ( кр.прав.α/2; +∞)
б) при конкурирующей гипотезе Н1: р1 > р2 кр для правосторонней критической области находится из условия, и вид критической области: P( > кр.)= α
в) при конкурирующей гипотезе : р1 < р2 левосторонняя критическая область имеет вид P( < - кр)=α, где кр находится по формуле из пункта б).
43. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух совокупностей.
Рассмотрим две случайные величины Х
и У, каждая из которых подчиняется
нормальному закону с дисперсиями
.
Пусть из этих генеральных совокупностей
извлечены две выборки объёмами n1
и n2 . Проверим гипотезу
о том, что
относительно альтернативной гипотезы
Н1 , заключающейся в том, что
.
Однако, мы располагаем только выборочными
дисперсиями
и
.
Задача проверки гипотезы
сводится к сравнению выборочных
дисперсий. Для построения критической
области с выбранной надёжностью
необходимо исследовать совместный
закон распределения оценок
и
.
Таким законом распределения является
распределение Фишера – Снедекора
(или F- распределение).
Рассмотрим случайную величину x
, распределённую нормально с математическим
ожиданием Х и с дисперсией
.
Произведём две независимые выборки
объёмами n1 и n2
. Для оценки
используют
выборочные дисперсии. Случайную
величину, определяемую отношением
,
называют величиной с распределением
Фишера-Снедекора. Имеются таблицы для
дифференциального закона распределения
Фишера-Снедекора, которые зависят лишь
от объёма выборки и уровня значимости
,
где k1=n1-1, k2=n2-1. Вернёмся снова к задаче
проверки гипотезы о равенстве
дисперсий. Сначала нужно вычислить
выборочные дисперсии. Найдём отношение
,
причём в числителе поставим большую из
двух оценок дисперсии. Выберем уровень
значимости α и из таблиц находим число
F
которое сравнивается с вычисленным F.
Если окажется, что
,
то проверяемая гипотеза
отвергается, в противном случае делается
вывод о том, что наблюдения не противоречат
проверяемой гипотезе.
44. Статистические гипотезы о числовых характеристиках генеральных совокупностей. (Числовые характеристики генеральной совокупности – это генеральная средняя и генеральная дисперсия.)
Сравнение выборочной средней с
гипотетической генеральной средней
нормальной совокупности. Дисперсия
генеральной совокупности известна.
Пусть из нормальной генеральной
совокупности извлечена выборка объема
n и по ней найдена выборочная
средняя x, причем
генеральная дисперсия
известна. По выборочной средней при
заданном уровне значимости проверяется
нулевая гипотеза
о равенстве генеральной средней a
гипотетическому значению
.
В качестве проверки нулевой гипотезы
примем случайную величину
которая распределена нормально, причем,
при справедливости нулевой гипотезы,
1.Конкурирующая гипотеза
2.Конкурирующая гипотеза
3.Конкурирующая гипотеза
Дисперсия генеральной совокупности
неизвестна. Если дисперсия генеральной
совокупности неизвестна (например, в
случае малых выборок), то в качестве
критерия проверки нулевой гипотезы
принимают случайную величину
где
s — «исправленное» среднее квадратическое
отклонение. Величина Т имеет распределение
Стьюдента с k=n—1 степенями свободы
1.Конкурирующая гипотеза
по таблице критических точек распределения
Стьюдента, по заданному уровню значимости
α, помещенному в верхней строке
таблицы, и числу степеней свободы k=n-1,
найти критическую точку
2.Конкурирующая гипотеза
по уровню значимости α, помещенному
в нижней строке таблицы, и числу степеней
свободы k=n-1, находят критическую точку
3.Конкурирующая гипотеза
по
уровню значимости α, помещенному в
нижней строке таблицы, и числу степеней
свободы k=n-1, находят критическую точку
;