5.Течение вязкой жидкости по трубам. Метод Пуазейля определения коэффициента вязкости.

Тече́ние Пуазёйля — ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между параллельными плоскостями. Течение Пуазёйля — одно из самых простых точных решений уравнений Навье — Стокса. Описывается законом Пуазёйля (Хагена — Пуазёйля).

Закон Пуазёйля (иногда закон Хагена — Пуазёйля) — это физический закон так называемого течения Пуазёйля, то есть установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке. Закон установлен эмпирически в1839 году Г. Хагеном, а в 1840—1841 годы — независимо Ж. Л. Пуазёйлем. Теоретически объяснён Дж. Г. Стоксом в 1845 году.

При установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения секундный объёмный расход прямо пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени радиуса и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости.

где

•  — перепад давления на концах капилляра, Па;

• Q — секундный объёмный расход жидкости, м³/с;

• R — радиус капилляра, м;

• d — диаметр капилляра, м;

•  — коэффициент динамической вязкости, Па·с;

• l — длина трубы, м.

Формула используется для определения вязкости жидкостей. Другим способом определения вязкости жидкости является метод, использующий закон Стокса.

Пологая течение жидкости ламинарным, найдём закон изменения скорости v с расстоянием r от оси трубы, т.е. v(r) -? Выделим воображаемый цилиндрический объём жидкости радиуса r и длинны l. Поскольку скорости всех частиц жидкости являются постоянными v = const, сумма внешних сил, приложенных к любому объёму жидкости, равна нулю. На основание цилиндра действуют силы давления, сумма которых равна:

                                                           .

На боковую поверхность цилиндра действует сила трения:

                                                             .

Поскольку    , то

                                                       .

Учитывая, что скорость убывает с расстоянием от оси трубы, т.е.   ,

из (1) получим:           ,       .

Интегрирование даёт:

    .  Так как при r = R скорость v = 0,   то

      , где R – радиус трубы.

- закон изменения скорости жидкости от расстояния до оси трубы.

Если  - скорость на оси трубы, то

Вычислим поток жидкости Q – т. е. объём жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени. Для этого сначала определим поток жидкости через кольцо радиуса r и толщиной dr :

-поток жидкости через кольцо dr.

Интегрируя по r, получим поток жидкости через поперечное сечение трубы:

-формула Пуазейля .

Ее можно использовать для определения коэффициента вязкости

6.Движение тел в жидкости и газе. Метод Стокса определения коэффициента вязкости.

Одной из важнейших задач гидро- и аэродинамики является изучение движения твердых тел в газе и жидкости, в частности изучение тех сил, с которыми среда воздействует на движущееся тело. Эта задача стала особенно значимой в связи с бурным развитием авиации и значительным увеличением скорости движения морских судов.  На тело, которое движется в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействующую их обозначим R), одна из которых (Rx) направлена в сторону, противоположную движению тела (в сторону потока), - лобовое сопротивление, а вторая (Ry) перпендикулярна этому направлению - подъемная сила (рис. 1). 

Рис.1

Если тело обладает осью симметрии, которая совпадает с направлением скорости, то на данное действует только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае равна нулю. Доказано, что в идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопротивления. Если исследовать движение кругового цилиндра в такой жидкости (рис. 2), то картина линий тока симметрична как относительно прямой, проходящей через точки А и В, так и относительно прямой, проходящей через точки С и D, т. с. результирующая сила давления на поверхность цилиндра будет равна нулю. 

Рис.2

Другим образом обстоит дело если происходит движение тела в вязкой жидкости (особенно при увеличении скорости обтекания). Из-за вязкости среды в области движения, прилегающей к поверхности тела, создается пограничный слой частиц, которые движутся с меньшими скоростями. В результате тормозящего действия этого слоя частицы начинают вращаться и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не обладает обтекаемой формой (нет плавно утончающейся хвостовой части), то происходит отрыв пограничного слоя жидкости от поверхности тела. При этом за телом возникает течение жидкости (газа), которое направлено противоположно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, следуя за этим течением, образует вихри, вращающиеся в противоположные стороны (рис. 3). 

Рис.3

Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается безразмерным коэффициентом сопротивления Cx, который определяется экспериментально:   (1)  где ρ - плотность среды; ν - скорость движения тела; S - наибольшее поперечное сечение тела.  Составляющую Rx можно значительно уменьшить, если подобрать тело формы, не способствующей образованию завихрения.  Подъемная сила может быть определена формулой, аналогичной (1):    где Cy - безразмерный коэффициент подъемной силы.  Для крыла самолета требуется значительная подъемная сила при малом лобовом сопротивлении (это условие выполняется при малыхуглах атаки α (угол к потоку); см. рис. 1). Крыло тем лучше удовлетворяет этому условию, чем больше величина К=Cy/Cx называемаякачеством крыла. Большие заслуги в конструировании требуемого профиля крыла и изучении влияния геометрической формы тела на коэффициент подъемной силы принадлежат Н. Е. Жуковскому (1847-1921).

В этом методе шарик падает в исследуемой жидкости.

В установившимся режиме падения шарик будет двигаться с постоянной скоростью. Следовательно, ускорение шарика будет равно нулю и, согласно второму закону Ньютона, сумма действующих на него сил будет равна нулю. На шарик действуют. Сила Архимеда (см. рис. 1.35)

Рис. 1.35. Метод Стокса

F_A=m_ж·g=(4/3)·π·r³·ρ_ж·g,

где ρ_ж - плотность жидкости, r - радиус шарика. Сила тяжести m·g=(4/3)·π·r³·ρ·g, где ρ - плотность материала шарика. Сила вязкого трения, которая для тел сферической формы определяется формулой Стокса F_тр=6π·η·r·v, где v - скорость шарика в установившемся режиме, η - искомый коэффициент вязкости. На основании второго закона Ньютона запишем:

(4/3)·π·r³·ρ·g=(4/3)·π·r³·ρ_ж·g + 6π·η·r·v

Отсюда получим искомое выражение для коэффициента вязкости:

(4/3)·π·r³·g·(ρ-ρ_ж)=6π·η·r·v → η=[(4/3)·π·r³·g·(ρ-ρ_ж)] / 6π··r·v