43. Геометрический метод нахождения оптимальных смешанных стратегий игрока и цены игры в смешанных стратегиях в игре размерности .

1. Берем горизонтальный отрезок [0, 1].

2. Через концы отрезка [0,1] проводим к нему два перпендикуляра: левый и правый.

3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0, 1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы первой строки матрицы А.

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрез­ком [0, 1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все эле­менты второй строки матрицы А.

5. Каждую пару точек, изображающих элементы а_1j и a_2j, j=1,2,..., п, стоящие j-м столбце матрицы A, соединяем отрезком а_1ja_2j. Таким образом, будут построены п отрезков, представляющих собой графики и линейных функций

где Р= (1 — р, р) — смешанная стратегия игрока А.

6. Если все отрезки а_1ja_2j, j=1,2,..., п, неубывающие (имеют неот­рицательный наклон), то стратегия А₂ доминирует стратегию А₁.

Если все отрезки а_1ja_2j, j=1,2,..., п, возрастающие (имеют поло­жительный наклон), то стратегия А₂ строго доминирует стратегию А₁.

7. Если все отрезки а_1ja_2j, j=1,2,..., п, невозрастающие (имеют не­положительный наклон), то страте­гия А₁ доминирует стратегию А₂.

Если все отрезки а_1ja_2j, j=1,2,..., п, убывающие (имеют отрица­тельный наклон), то стратегия А₁ строго доминирует стратегию А₂.

9. Находим (выделяем) нижнюю огибающую семейства отрезков , которая в общем случае будет представлять собой выпуклую вверх ломаную, а, в частности, может быть и отрезком.

10. На нижней огибающей находим наивысшую точку (точки).

11. Абсцисса р° этой точки является вероятностью выбора игро­ком А чистой стратегии А₂ в оптимальной смешанной стратегии Р° = (1 – р⁰, р⁰)

12. Ордината наивысшей точки нижней огибающей является це­ной игры V.

13. Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на пер­пендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях .

14. Нижний из верхних концов отрезков а_1ja_2j, j=1,2,..., п, есть верхняя цена игры в чистых стратегиях .

15. Элемент матрицы А, изображающая точка которого является нижней на перпендикуляре, где она лежит, и верхним концом отрезка, на котором она лежит, будет седловой точкой игры.

В этом случае чистая стратегия игрока В, номер которой совпадает со вторым индексом седловой точки, является оптимальной.

На рисунке из п отрезков а_1ja_2j, j=1,2,..., п, указаны три, которые принимают участие в конструировании нижней огибающей, выделенной жирной линией; Н — наивысшая точка этой огибающей; р° — абсцисса точки N, следовательно, Р° = (1 — р°, р°) — оптимальная смешанная стратегия игрока А, цена игры К равна ординате точки N; нижняя цена игры в чистых стратегиях  = a_2j2; верхняя цена игры в чистых стратегиях  = a_2j1; на рисунке видно, что  < V< .

43. Доказательство формул для нахождения цены игры в смешанных стратегиях и стратегий игрока , оптимальных во множестве смешанных стратегий, в игре размерности .

Доказательство

Уравнения отрезков и имеют следующий вид:

Так как эти отрезки пересекаются в точке N, то абсцисса р⁰ этой точки является решением уравнения

откуда получаем формулу

.

Поскольку цена игры V представляет собой ординату точки N, то для вычисления V достаточно в правую часть одного из ра­венств

подставить вместо р абсциссу р⁰, выра­женную формулой

.

Подставляя р = р⁰ в правую часть ра­венства , получим