43. Аналитическое решение игры без седловой точки, задаваемой симметрической и двоякосимметрической матрицей второго порядка.

Если матрица игры А размером 2x2 сим­метрическая, т. е. и не имеет седловой точки, то чис­тые стратегии А₁, В₁ и А₂, В₂ входят в соответствующие оп­тимальные смешанные стратегии и соответственно с вероятностями: .

Если матрица игры А размера 2x2 двоякосимметрическая, т. е. и и не имеет седловой точки, то каждая чистая стратегия А₁, А₂, В₁, В₂ входит в со­ответствующую оптимальную стратегию или с вероятностью, равной ½:

.

43. Геометрический метод нахождения оптимальных смешанных стратегий игрока и цены игры в смешанных стратегиях в игре размерности без седловой точки.

1. Берем горизонтальный отрезок [0, 1], на котором для определенности положено а₂₂ < а₁₁< а₂₁ < а₁₂.

2. В концах отрезка [0, 1] проводим к нему два перпендикуляра: левый, соответствующий стратегии А₁ и правый, соответствующий стратегии А_2.

3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0, 1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы а₁₁ и а₁₂ первой строки матрицы А.

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрез­ком [0, 1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы а₂₁ и а₂₂ второй строки матрицы А.

5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми вторыми индексами, т.е. элементы, стоящие в одном и том же столб­це матрицы А: а₁₁ с а₂₁ и а₁₂ с а₂₂. В результате получаем отрезки а₁₁а₂₁ и а₁₂а_22.

6. Если отрезки а₁₁а₂₁ и а₁₂а₂₂ неубывающие: а₁₁а₂₁ и а₁₂а₂₂ , то стратегия А₂ доминирует стратегию А₁.

Если отрезки а₁₁а₂₁ и а₁₂а₂₂ возрастающие: а₁₁а₂₁ и а₁₂а₂₂ _, то стра­тегия А₂ строго доминирует стратегию А₁.

7. Если отрезок а₁₁а₂₁ лежит не ниже отрезка а₁₂а₂₂, то стратегия В₂ доминирует стратегию В_1.

Если отрезок а₁₁а₂₁ лежит выше отрезка а₁₂а₂₂ и не пересекается с ним, то стратегия В₂ строго доминирует стратегию В_1.

8. Находим нижнюю огибающую отрезков а₁₁а₂₁ и а₁₂а_22.

9. Находим наивысшие точки нижней огибающей.

10. Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0,1].

11. Полученные проекции р° определяют оптимальные стратегии Р°=(1-р°, р°) игрока А.

12. Ордината наивысшей точки огибающей равна пене игры V.

13. Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на пер­пендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях .

14. Нижний из двух верхних концов отрезков а₁₁а₂₁ и а₁₂а₂₂ есть верхняя цена игры в чистых стратегиях .

15. Если элемент является нижним на перпендикуляре, где он ле­жит, и верхним концом отрезка а₁₁а₂₁ или а₁₂а_22., на котором он лежит, то этот элемент является седловой точкой. В этом случае чистая стра­тегия игрока В, номер которой совпадает со вторым индексом седло-вой точки, является оптимальной.

43. Геометрический метод нахождения оптимальных смешанных стратегий игрока и цены игры в смешанных стратегиях в игре размерности без седловой точки.

1. Берем горизонтальный отрезок [0, 1], на котором для определенности положено

а₂₂ < а₁₁< а₂₁ < а₁₂

2. В концах отрезка [0, 1] проводим к нему два перпендикуляра: левый, соответствующий стратегии В₁ и правый, соответствующий стратегии В₂,

3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0, 1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы а₁₁ и а₂₁ первого столбца матрицы А.

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрез­ком [0, 1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы а₁₂ и а₂₂ второго столбца матрицы А.

5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми первыми индексами, т.е. элементы, стоящие в одной и той же строке матрицы А: а₁₁ с а₁₂ и а₂₁ с а₂₂. В результате получаем отрезки а₁₁а₁₂ и а₂₁а₂₂

6. Если отрезки а₁₁а₁₂ и а₂₁а₂₂ невозрастающие: а₁₁а₁₂ и а₂₁а₂₂ то стратегия В₂ доминирует стратегию В₁.

Если отрезки а₁₁а₁₂ и а₂₁а₂₂ убывающие: а₁₁а₁₂  и а₂₁а₂₂ , то страте­гия В₂ строго доминирует стратегию В₁.

7. Если отрезок а₁₁а₁₂ лежит не ниже отрезка а₂₁а₂₂ то стратегия А₁ доминирует стратегию А₂.

Если отрезок а₁₁а₁₂ лежит выше отрезка а₂₁а₂₂ и не пересекается с ним, то стратегия А₁ строго доминирует стратегию А₂.

8. Находим верхнюю огибающую отрезков а₁₁а₁₂ и а₂₁а₂₂.

9. Находим наинизщие точки верхней огибающей.

10. Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0, 1].

11. Полученные проекции q° определяют оптимальные стратегии Q°= (1-q⁰,q°) игрока В.

12. Ордината наинизшей точки верхней огибающей равна цене игры V.

13. Нижний из двух концов верхней огибающей (лежащих на пер­пендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях .

14. Верхний из двух нижних концов отрезков а₁₁а₁₂ и а₂₁а₂₂ есть нижняя цена игры в чистых стратегиях .

15. Если элемент является верхним на перпендикуляре, где он ле­жит, и нижним концом отрезка а₁₁а₁₂ или а₂₁а₂₂, на котором он лежит, то этот элемент является седловой точкой. В этом случае чистая стра­тегия игрока А, номер которой совпадает с первым индексом седловой точки, является оптимальной.