32. Доказательство теоремы о геометрической интерпретации множества стратегий игрока , оптимальных во множестве смешанных стратегий.

Следствие. Множество S^O_A оптимальных стратегий игрока А является выпуклым многогранником (политопом), содержащимся в симплексе S_A всех смешанных стратегий игрока А.

Доказательство. Для каждой оптимальной стратегии Р0=(р⁰₁,…,р⁰_m) игрока А справедливо неравенство Н(Р⁰,B_j)≥V, j=1,…,n, которое можно переписать следующим образом: , j=1,…,n. Множество точек Р⁰=(р⁰₁,…,р⁰_m) m-мерного пространства R^m, координаты p⁰_i, i=1,…,m, которых удовлетворяет этому неравенству для фиксированного jϵ{1,…,n}, является замкнутым полупростанством, а множество точек Р⁰=(р⁰₁,…,p⁰_m), координаты p⁰_i, i=1,…,m, которых удовлетворяют этому неравенству для всех j=1,…,n, является пересечением конечного числа n замкнутых полупростанств и называется выпуклым замкнутым полиэдром. Так как к тому же множество оптимальных оптимальных стратегий игрока А S^O_A ограничено, поскольку оно является подмножеством симплекса всех его смешанных стратегий S_A, то S^O_A является выпуклым многогранником.

33. Доказательство теоремы о геометрической интерпретации множества стратегий игрока , оптимальных во множестве смешанных стратегий.

Следствие. Множество S^O_В оптимальных стратегий игрока В является выпуклым многогранником (политопом), содержащимся в симплексе S_В всех смешанных стратегий игрока В.

Доказательство. Для каждой оптимальной стратегии Q⁰=(q⁰₁,…,q⁰_m) игрока А справедливо неравенство Н(A_i,Q⁰)≤V, i=1,…,m, которое можно переписать следующим образом: , j=1,…,m. Множество точек Q⁰=(q⁰₁,…,q⁰_m) m-мерного пространства R^m, координаты q⁰_i, i=1,…,m, которых удовлетворяет этому неравенству для фиксированного jϵ{1,…,n}, является замкнутым полупростанством, а множество точек Q⁰=(q⁰₁,…,q⁰_m), координаты q⁰_i, i=1,…,m, которых удовлетворяют этому неравенству для всех j=1,…,n, является пересечением конечного числа n замкнутых полупростанств и называется выпуклым замкнутым полиэдром. Так как к тому же множество оптимальных оптимальных стратегий игрока B S^O_B ограничено, поскольку оно является подмножеством симплекса всех его смешанных стратегий S_B, то S^O_B является выпуклым многогранником.

34. Доказательство в терминах множеств смешанных стратегий игроков и критерия того, что число - цена игры в смешанных стратегиях, а и - стратегии, оптимальные во множестве смешанных стратегий соответственно игроков и .

Теорема. Для того чтобы V было ценой игры, а Р⁰ и Q⁰ – оптимальными стратегиями соответственно игроков А и В, другими словами, для того, чтобы {P⁰,Q⁰,V} было решеннием игры, необходимо и достаточно выполнение двойного неравенства H(P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q) для любых PϵS_A и QϵS_B.

Доказательство. Необходимость. Пусть V – цена игры и P⁰, Q⁰ – оптимальные стратегии. Тогда неравенства H(P,Q^o)≤V и H(P⁰, Q)≥V справедливы и их можно записать в неравенство H(P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q).

Достаточность. Пусть для некоторого числа V и некоторых стратегий Р⁰ игрока А и Q⁰ игрока В выполняется двойное неравенство (P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q). Так как это неравенство верно для любых PϵS_A и QϵS_B, то в частности оно будет справедливо и для Р= P⁰, Q= Q⁰: H(P⁰,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q⁰), т.е. V=H(P⁰,Q⁰).

Тогда получим: H(P,Q⁰)≤ H(P⁰,Q⁰)≤H(P⁰,Q), PϵS_A и QϵS_B. max(PϵS_A)H(P,Q⁰)≤ H(P⁰,Q⁰)≤min(QϵS_B)H(P⁰,Q) или β(Q^o)≤ H(P⁰,Q⁰)≤α(Р⁰). Отсюда по определению верхней и нижней цен игры получим: V^=min(QϵS_B)β(Q)≤ β(Q^o)≤ H(P⁰,Q⁰)≤α(Р⁰)≤ max(PϵS_A) α(Р)=V_.

Из H(P⁰,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q⁰) и V^=min(QϵS_B)β(Q)≤ β(Q^o)≤ H(P⁰,Q⁰)≤α(Р⁰)≤ max(PϵS_A) α(Р)=V_. следует, что V – цена игры, а также справедливость равенства V= α(Р⁰)= β(Q^o)= H(P⁰,Q⁰), которое по определению оптимальных стратегий, означает, что P⁰,Q⁰ – оптимальные стратегии соответственно игроков А и В.

35. Доказательство в терминах множеств чистых стратегий игроков и критерия того, что число - цена игры в смешанных стратегиях, а и - стратегии, оптимальные во множестве смешанных стратегий соответственно игроков и .

Теорема. Для того, чтобы V была ценой игры, а P⁰,Q⁰ – оптимальными стратегиями соответственно игроков А и В, необходимо и достаточно выполнение двойного неравенства Н(A_i,Q⁰)≤V≤ Н(Р⁰,B_j), i=1,…,m, j=1,…,n.

Доказательство. Достаточно доказать эквивалентность неравенств H(P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q) и Н(A_i,Q⁰)≤V≤ Н(Р⁰,B_j).

Пусть справедливо неравенство H(P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q). Так как оно имеет место для любых стратегий PϵS_A и QϵS_B, то, в частности, оно справедливо и для любых чистых стратегий P=A_i, i=1,…,m, и Q=B_j, j=1,…,n, т.е. справедливо двойное неравенство Н(A_i,Q⁰)≤V≤ Н(Р⁰,B_j).

Докажем обратное. Пусть имеет равенство Н(A_i,Q⁰)≤V≤ Н(Р⁰,B_j). Тогда из него, допустив получим: = =1, получим: , PϵS_A и QϵS_B, т.е. справедливо неравенство H(P,Q⁰)≤V≤H(P⁰,Q).

36. Доказательство в терминах седловых точек выигрыш-функции критерия того, что число - цена игры в смешанных стратегиях, а P^O и Q^O - стратегии, оптимальные во множестве смешанных стратегий соответственно игроков А и B.

Для того чтобы V было ценой игры, а Р° и Q^o — оптимальными стратегиями соответственно игроков А и В, необходимо и достаточно, чтобы (Р°, Q°) была седловой точкой выигрыш-функции Н(Р, Q) и Н(Р°, Q°) = V.

Множество номеров i ∈ {1,2,…,m}, для которых p_i> 0, называется спектром смешанной стратегии Р={р₁,р₂,…, р_m) и обозначается supp Р.

Таким образом,

suppР = {i∈{1,2,..., m):р_i>0}

Чистая стратегия A_i- называется пассивной или активной относительно смешанной оптимальной стратегии Р° = (р₁^O,р₂^O,..., р_m^O)в зависимости от того, i не ∈supp Р° или i∈supp Р°, т.е. в зависимости от того, p_i⁰ = 0 или р_i⁰> 0.