15. Понятие смешанной стратегии.

Среди антогонистических игр существенную долю составляют игры без седловых точек, т.е. игры, в которых нижняя цена игры α строго меньше верхней цены β: α<β. Если такая игра состоит из единственной «партии», т.е. каждый из игроков делает только 1 ход, предполагая, что его соперник играет разумно, то осторожность поведения мотивирует выбор игроком А одной из своих максиминных стратегий, а игроком В – одной из своих минимаксных стратегий. В этом случае игрок А обеспечивает себе выигрыш, не меньший нижней цены игры α, а игрок В гарантирует, что выигрыш игрока А будет не больше верхней цены игры β.

Если же игра повторяется многократно, то каждый из игроков, с одной стороны, получает информацию о предыдущих ходах противника, а с другой стороны, хочет скрыть от противника свои намерения в будущих ходах. Способ действий, не сводящийся к использованию одной-единственной чистой стратегии с целью скрыть свои будущие действия от противника и увеличить минимальный гарантированный выигрыш α игрока А и уменьшить максимальный гарантированный проигрыш игрока В состоит в случайном чередовании чистых стратегий. Фактически это вопрос о разделе между игроками разности β-α>0 с максимальной пользой для каждого из них.

Смешанная стратегия игрока – стратегия игрока, состоящая в случайном выборе им одной из своих чистых стратегий с определенной вероятностью. При условии, что множество S_A^C={А₁,…,А_m} чистых стратегий игрока А известно, каждая его смешанная стратегия Pопределяется вероятностями p₁,…,p_m, с которыми выбираются игроком А соответствующие чистые стратегии. Поэтому смешанную стратегию, например, игрока А, имеющего m чистых стратегий можно представить m-мерным вектором Р=(р₁,…,р_m), р_i , i=1,2,…m, Σ p_i=1

То же относится и к смешанным стратегиям игрока В: Q= (q₁, q_{2, …,}q_n ) q_j≥0 j=1,…,n ∑q_j=1

Смешанной стратегией игрока называется совокупность его чистых стратегий с определёнными для них вероятностями выбора:

, , .

S_A={Р=(р₁,…,р_m): р_i≥0, i=1,…,m, Σp_i=1}- множество всех смешанных стратегий игрока А.

15. Геометрическая интерпретация множества смешанных стратегий.

Каждую чистую стратегию А_i, i=1,…,m, игрока А можно рассматривать как смешанную стратегию

А ₁=(1,0,…,0,0),

А₂=(0,1,…,0,0),

………………………

А_m-1=(0,0,…,1,0),

А_m=(0,0,….,0,1),

в которой чистая стратегия А_iвыбирается с вероятностью р_i=1, а все остальные чистые стратегии - с вероятностью равной нулю. Поэтому конечное множество S_A^C, состоящееиз mчистых стратегий игрока А, является собственным (при m≥2) подмножества бесконечного множества его чистых стратегий S_A:

S_A^C c S_A, S_A^C≠Ø, S_A^C≠S_A

ДлясмешаннойстратегииР=(р₁,…,p_m) имеем: p₁A₁+…+p_mA_m=p₁(1,0,…,0,0)+…+p_m(0,0,…,0,1)=(p₁,0,…,0,0)+…+(0,0,…,0,p_m)=(p₁,…,p_m).

Таким образом, каждую смешанную стратегию можно представить линейной комбинацией чистых стратегий с коэффициентами, являющимися координатами данной смешанной стратегии:

P=(p₁,….,p_m)=Σp_iA_i

Правая часть данного равенства является выпуклой комбинацией орт A₁,…,A_m и потому множество S_A всех смешанных стратегий геометрически представляет собой фундаментальный (m-1)-мерный симплекс с mвершинами в точках A₁,…,A_m, представляющих чистые стратегии (выпуклая оболочка, натянутая на чистые стратегии). Например, при m=1 игрок А обладает одной чистой стратегией A₁ и потому смешанная стратегия совпадает с чистой. Таким образом, множество смешанных стратегий состоит из единственного элемента A₁:S_A=S_A^C={A₁} – и представляет собой 0-мерный симплекс, состоящий из единственной точки – вершины A_1.

При m=2 игрок А имеет две чистые стратегии S_A^C={A₁, A₂}, а множество S_A смешанных стратегий есть 1-мерный симплекс с двумя вершинами A₁, A₂, представляющий собой отрезок с концами A₁ и A_2. При m=3 у игрока А три чистые стратегии S_A^C={A₁, A₂, A₃}, а множество S_A смешанных стратегий есть 2-мерный симплекс с вершинами A₁, A₂, A₃, представляющим собой плоский правильный треугольник A₁A₂A₃. Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место и для игрока В.