Экзаменационный билет №___24____

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ. ПОНЯТИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ. ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. КВАДРАТИЧНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Интерполяция является частным случаем аппроксимации.

Это - задача о нахождении такой аналитической функции L(x), которая принимает в точках (узлах) х_i заданные значения у_i. Иными словами, аппроксимирующая функция в случае интерполяции обязательно проходит через заданные точки.

Интерполяционная функция L(x) приближенно заменяет исходную f(x), заданную таблично, и проходит через все заданные точки – узлы интерполяции.

В связи с интерполяцией рассматриваются три основные проблемы:

1. Выбор интерполяционной функции L(x)

2. Оценка погрешности интерполяции R(x)/

3. Размещение узлов интерполяции для обеспечения наивысшей возможной точности восстановления функции

1. Чаще всего в качестве интерполяционной функции используется полином n-степени (полиноминальная функция). Это объясняется тем, что полином n-степени, содержащий n+1 параметр и проходящий через все заданные точки – единственный

2. Выполнить перевод числа 195 в двоичную систему счисления. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А₁₆

Экзаменационный билет №___25____

1. ПОДХОДЫ К РЕАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. ЭТАПЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. ЧТО ПОНИМАЕТСЯ ПОД ПОНЯТИЯМИ: СХОДИМОСТЬ МЕТОДА, КОРРЕКТНОСТЬ МЕТОДА, УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДА

2. Выполнить перевод числа 13₁₆ в десятичную систему счисления . Выполнить перевод числа 10011₂ в десятичную систему счисления

Экзаменационный билет №___26____

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

2. Выполнить перевод числа 10011₂ в шестнадцатеричную систему счисления. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,1101₂.

Экзаменационный билет №___27____

1. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ: МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, МЕТОД ТРАПЕЦИЙ, МЕТОД СИПСОНА

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методовотыскания значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.

2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, f(x) = exp( − x²).

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке  . Этот отрезок делится точками   на   равных отрезков длиной   Обозначим через   значение функции   в точках   Далее составляем суммы   Каждая из сумм — интегральная сумма для   на   и поэтому приближённо выражает интеграл

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок  , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на бо́льшую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

 

где 

Учитывая априорно бо́льшую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников