Тема 20. Методика изучения алгебраического материала

План

1. Основные понятия математики.

2. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала в курсе математики начальных классов.

3. Числовые выражения. Изучение правил порядка выполнения арифметических действий.

4. Выражения с переменной. Уравнения в начальном курсе математики.

5. Методика изучения числовых равенств и числовых неравенств

1. Основные понятия математики

Числовое выражение в общем виде можно определить так:

1) Каждое число является числовым выражением.

2) Если А и B - числовые выражения, то (А)+(В), (А) - (В), (А)(В); (А):(В); (А)^(В) и f(А) где f(x) - некоторая числовая функция) тоже являются числовыми выражениями.

Если в числовом выражении можно выполнить все указанные в нем действия, то полученное в результате действительное число называют числовым значением дан­ного числового выражения, а о числовом выражении говорят, что оно имеет смысл. Иногда числовое выражение не имеет числового значения, т.к. не все указанные в нем действия выполнимы; о таком числовом выражении говорят, что оно не имеет (ли­шено) смысла. Так, следующие числовые выражения ; и (7-7)⁰ не имеют смысла.

Таким образом, любое числовое выражение либо имеет одно числовое значение, либо лишено смысла.

Принят следующий порядок действий при вычислении значения числового выра­жения:

1. Сначала выполняются все операции внутри скобок. Если имеется несколько пар скобок, вычисления начинаются с самых внутренних.

2. Внутри скобок порядок вычислений определяется приоритетом операций: пер­выми вычисляются значения функций, затем выполняется возведение в степень, по­том - умножение или деление, и последними - сложение и вычитание.

3. При наличии нескольких операций одного приоритета вычисления выполняются последовательно слева направо.

Числовое равенство - два числовых выражения A и B, соединенных знаком равен­ства («=»).

Числовое неравенство - два числовых выражения A и B, соединенных знаком не­равенства («<», «>», «≤» или «≥»).

Выражение, содержащее переменную и обращающееся в числовое выражение при замене переменной ее значением, называется выражением с переменной или числовой формой.

Уравнение с одной переменной (с одним неизвестным) - пре­дикат вида f₁(x) = f₂(x), xX, где f₁(x) и f₂(x) - выражения с переменной x, опреде­лен­ные на множестве X.

Всякое значение переменной x из множества X, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем (решением) уравнения. Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет. Множество всех корней уравнения (или множество истинности T предиката f₁(x) = f₂(x), xX) назы­вают множеством решений уравнения.

Множество значений x, при которых определены обе части уравнения, назы­вают областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x или областью определе­ния уравнения.

2. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала

Начальный курс математики наряду с основным арифметическим материалом включает в себя и элементы алгебры, представленные следующими вопросами:

• числовые выражения;

• выражения с переменной;

• числовые равенства и неравенства;

• уравнения.

Целью включения элементов алгебры в курс математики начальных классов является:

• более полно и более глубоко рассматривать арифметический материал;

• доводить обобщения учащихся до более высокого уровня;

• создать предпосылки для более успешного изучения алгебры в среднем и старшем звене школы.

К элементам алгебры, включенным в курс математики начальных классов, относятся следующие вопросы:

• числовые выражения;

• выражения с переменной;

• числовые равенства и числовые неравенства;

• уравнения;

• неравенства с переменной.

Алгебраический материал не выделен в программе отдельной темой. Он распределен по всему курсу математики начальных классов отдельными вопросами. Изучаются эти вопросы, начиная с 1 класса, параллельно с изучением основного арифметического материала. Последовательность рассмотрения предложенных программой вопросов определяется учебником.

Усвоение изучаемых алгебраических понятий в начальных классах предполагает введение соответствующей терминологии и выполнение простейших операций без построения формально логических определений.