35. Теорема о дифференцировании суммы, разности, произведения, частной обратной функции

Теорема Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы: 1) (u±v)/=u/±v/ , 2) (u·v)/=u/v+v/u , 3) (vu)=v2u/v−v/u .

36. Аналитические функции.

Функция w=f(z) дифференцируемая не только в самой точке z₀, но и в некоторой окрестности этой точки называется аналитической в точке z₀. Если f(z) является аналитической в каждой точке области Д, то она называется аналитической (регулярной) в области Д.

Из свойств производных сразу следует , что если f(z) и g(z) аналитические функции в области Д, То функции f(z)+g(z), f(z)-g(z), f(z)_*g(z) и f(z)/g(z) (g(z)≠0) являются аналитическими в Д. Из теоремы о производной сложной функции вытекает следующее утверждение: если функция u=u(z) аналитична в области Д и отображает Д в область Д' переменного u , а функция w=f(u) аналитична в области Д', то сложная функция w=f[u(z)] аналитична в Д.

Введем понятие функции, анатичн. в замкнутой области Д^-. Отличие от открытой области в том, что добавляются точки границы, имеющие окрестности принадлежащие Д^-. Поэтому производная в этих точках не определена. Функция f(z) называется аналитической в замкнутой области Д^- , если ее можно продолжить в некоторою более широкую область Д, содержащую Д^-, до аналитической в Д функции

Геометр. смысл аргумента производной.

Первоначально напомним некот. сведения о кривых. Каждая кривая на пл-сти может быть задана параметрическими ур-ниями: L={(x,y):x=x(t), y=y(t),α<=t<=β}(1), где x(t), y(t) действит. ф-ции действит. переменного t. В дальнейшем предположим, что эти ф-ции имеют непрер. производные на (α;β), причем Dx(t), Dy(t) необращ. в нуль одновременно. Кривая, облад. указанными св-вами наз. гладкой.

Т.к. каждая точка (х,у) на пл-сти задается компл. числом z=x+iy, то из ур-ния (1) можно записать, что z(t)=x(t)+iy(t), где α<=t<=β. Возьмем значение t0 и t0+∆t из (α; β). Им соотв. точки z(t0) и z(t0+∆t) на кривой. Вектор ∆z=z(t0+∆t)-z(t0)=∆x+i∆y направлен по секущей, кот. проходит через эти точки.

Если умножить ∆z на действит. число 1/∆t, то получим вектор ∆z/∆t коллинеарный вектору ∆z. Далее начнем уменьшать ∆t, тогда точка z(t0+∆t) будет приближаться к z(t0) по кривой. Вектор ∆z/∆t будет поворачиваться, приближаясь к вектору lim_∆t→0∆z/∆t= lim_∆t→0 (∆u/ ∆t+i ∆v/ ∆t)=Dx(t0)+Dy(t0)=z`(t0).

Предельное положение секущих, проход. через т. z(t0) наз. касательной к кривой в этой точке. Т.о. вектор z`(t0) направлен по касательной к кривой в т. z(t0).

Пусть теперь задана ф-ция f(z) аналит. в т. z0, причем f `(z0)≠0. Предположим далее, что через т. z0 проходит кривая γ, задан. ур-нием z(t)=x(t)+iy(t) и z(t0)=z0. Кривая γ отображается ф-цией w=f(z) в кривую Г, лежащую в пл-сти переменного w. Ур-ние кривой Г будет иметь вид: w(t)=f(z(t)). Точка z0 отображ. в точку w0=f(z0). По правилу диф. сложной ф-ции w `(t0)=f `(z0)*z `(t0) (2)

Отсюда следует, что аргумент Argw`(t0)=Argf `(z0)+Arg z`(t0) (3).

Но z`(t0) есть вектор касательной к кривой γ в точке z0, а w`(t0) – вектор касательной к кривой Г в точке w0.

Р-во (3) позволяет придать величине Argf `(z0) след. геометр смысл: аргумент производной равен углу, на кот. повар. касательная в точке z0 к любой кривой, проход. через эту точку при отображ. w=f(z).

Заметим, что этот угол не зависит от γ, т.е касательная, проход. через т. z0 поворачивается при отображении w=f(z) на один и тот же угол равный Arg f `(z0).

Возьмем две кривые γ,γ1, проходящие через т. z0 и проведем касательные к этим кривым. При отображении w=f(z) кривые γ,γ1, прейдут в кривые Г и Г1,а каждая из касательных к γ,γ1 повернется на один и тот же угол. Поэтому угол θ м\д γ,γ1 будт равен углу м\д Г и Г1. Напомним, что угол м\д кривыми в точке z0 наз. угол м\д касат. к этим кривым в точке z0. Т. о., если f `(z0)≠0, то отображ. w=f(z) сохран. угол м\д кривыми.