30. Логариф функция
Логарифмом комплексного числа z называется такое число w, что
exp(w) = z.
Значения логарифмической функции f(z) = Ln(z) вычисляются по формуле
Ln(z) = ln(|z|) + iArg z = ln(|z|) + iarg z + 2kp i, k = 0, .1, .2,...
Величину ln(|z|) + iarg z называют главным значением логарифма.
Функция (z) = Ln(z) является многозначной функцией _ каждому значению аргумента отвечает бесконечное множество различных значений логарифма. Показательная (f(z) = az) и степенная (f(z) = za) функции комплексного переменного определяются с помощью логарифма - для любых комплексных чисел a и z справедливо:
f(z) = az = ezLna;
f(z)
= za= eaLnz.
Значения
обратных тригонометрических функций
комплексного переменного вычисляются
по формулам:
31. Тригонометр
Значение целой положительной степени комплексного аргумента, значение функции f(z) = z n , проще всего вычислять в тригнометрической форме.
Если z = x + iy = r (cosj + isinj ), то для любого целого положительного числа n имеет место формула:
w = f(z) = z n = r n (cos nj + isin nj ).
Если w = f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), то
u(x, y) = r ncos nj , u(x, y) = r nsin nj.
Корнем
n-й степени из комплексного числа z
называется число
такое,
что wn = z.
Для любого комплексного числа z существует n комплексных чисел w таких, что wn = z.
Значение
корня, т.е. значение функции
проще
всего вычислять в тригнометрической
форме.
Если
z = x + iy = r (cosj + isinj), то для любого целого
положительного числа n имеет место
формула:
Т.е.
функция
является
многозначной функцией _ каждому значению
аргумента отвечает n различных значений
корня.
Если
w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), то
Тригонометрические
функции комплексного аргумента
определяются формулами:
Гиперболические
функции комплексного переменного
определяются совершенно так же, как
функции в действительной области:
Гиперболические функции задаются следующими формулами:
гиперболический синус:
(в англоязычной литературе обозначается 
)
гиперболический косинус:
(в англоязычной литературе обозначается 
)
гиперболический тангенс:
(в англоязычной литературе обозначается 
)
гиперболический котангенс:
Иногда также определяются
гиперболические секанс и косеканс:
32.Трансцендентная функция — аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. Простейшими примерами трансцендентных функций служат показательная функция,тригонометрические функции, логарифмическая функция.
Если трансцендентные функции рассматривать как функции комплексного переменного, то характерным их признаком является наличие хотя бы одной особенности, отличной от полюсов и точек ветвления конечного порядка.
Так,
например, 
; 
и 
имеют
существенно особую точку 
(где 
обозначает
вершину сферы
Римана —
бесконечно удалённую точку комплексной
плоскости), 
—
точки ветвления бесконечного порядка
при 
и 
.
Основания общей теории трансцендентных функций даёт теория аналитических функций. Специальные трансцендентные функции изучаются в соответствующих дисциплинах (теория гипергеометрических, эллиптических, бесселевых функций и т. д.).