1.Достоверное, невозможное, случайное события, совместные и несовместные события: 3 определения вероятностей.

*Достоверное событие - это событие, которое обязательно происходит при каждом проведении рассматриваемого эксперимента. Этому событию соответствует все множество исходов данного эксперимента;

*Невозможное событие – это событие, которое никогда не может произойти при проведении данного эксперимента. Этому событию соответствует пустое множество исходов данного эксперимента;

*Событие называется случайным если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Случайным считается событие, связанное со случайным экспериментом;

*Два события А и В называются совместным, если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента.

*3 определения вероятностей

1.Классическое определение: Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа m исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу n возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий: Р(А)=m/n

Свойства:

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1

2.Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

4. P(A)= 1- P(A)

2. Частость события А называют статистической вероятностью, которая обозначается Р*(А)=mA/n , где mA - число экспериментов, в которых появилось событие А;

n - общее число экспериментов.

3. Аксиоматический подход к определению вероятности: третьим подходом к определению вероятности является аксиоматический подход, при котором вероятности задаются перечислением их свойств. В этом случае вероятность задается как числовая функция Р(А) на множестве всех событий, определяемых данным экспериментом, которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1. 0≤P(A)≤1

2. P(A)=1, если А - достоверное событие.

3. P(A∩ B)=P(A)+P(B), если А и В несовместны.

4. Геометрическое определение вероятности: Пусть пространство элементарных событий 1 C представляет собой некоторую область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться области А , содержащиеся в 1 C . Вероятность попадания в область А точки, наудачу выбранной из области 1 C , называется геометрической вероятностью события А и находится по формуле

P(A) = S(A)/S(C1) где S(A) и S(C1) – площади областей А и С1

Если С1 представляет собой отрезок P(A) = l(A)/L(C1) где l(A) и L(C1) – длины отрезков

Если С1 представляет собой трехмерную область P(A) = V(A)/V(C1) где V(A), V(C1) – объемы

2. Сумма, произведение событий. Формулы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

*Суммой событий А и В называется событие С=А+В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А и В(т.е.или А, или В, или оба вместе).

*Произведением событий А и В называется событие С=А*В которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В.

*Разностью событий А и В называется событие С=А-В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.

* Размещением из n элементов по k элементов ( 0 £ k £ n ) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее k элементов.

k

А n = n(n-1)(n-2)…(n-k+1) = n!/(n-k)! Где n! = 1× 2 ×3×.....× n ;

*Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

n

Pn = An = n!

*Сочетанием из n элементов по k (0≤ k≤ n) называется любое подмножество данного множества, которое содержит k элементов. Любые два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

k

C n = (n(n-1)(n-2)…(n-k+1))/k! = n!/(k!(n-k)!)