VIII. Логико-математические аспекты структур

  

26. Все только что упомянутые «конкретные» операциональные структуры предполагают построение определенных количеств; величины классов для классификации (что объясняет трудность квантификации включений классов), размера различий для сериации, количественных сохранений и т. п. Но даже до построения этих количественных структур на дооперациональных уровнях могут наблюдаться определенные частичные качественные структуры, которые имеют большой интерес, потому что составляют, так сказать, первую половину логики обратимых операций. Это ориентированные функции (однонаправленные функции, не имеющие инверсий, которые предполагали бы обратимость) и качественные тождественности (см. п. 10).

Функции, как мы помним, являются «чертежами» в математическом смысле, которые не имеют инверсий, потому что, как мы видели, психологически связаны с целенаправленными схемами действий. Предположим, например, что экспериментатор держит в руках один конец веревки (в), перекинутой через блок, а к другому ее концу подвешен груз, так что одна часть веревки (а) находится под прямым углом к другой ее части (а¹). Все дети в возрасте от 4 до 7 лет понимают, что если потянуть за веревку, то одна ее часть (а) станет короче, а другая часть (а¹) длиннее. Но они все еще не обладают понятием сохранения длины всей веревки (в) (в = а¹ + а), и то, что они осуществляют, это не квантифицированная операция, а просто инверсное или ординальное приравнивание (длиннее = дальше).

Сходным образом в случае тождества, как мы видели, все дети (или почти все) соглашаются, что, когда пластилиновый шарик раскатывается в колбаску, он все равно остается «одним и тем же» куском пластилина, даже если количество его и не сохраняется. Подобные представления о тождественности приобретаются очень рано, и упомянутая нами в п. 2 схема постоянного объекта – одна из них. Брунер в своей книге рассматривает их как источник сохранения количеств. В известном смысле это верно (они составляют, необходимое, но недостаточное условие), но при этом остается центральное различие; качества (на которых основывается качественная тождественность) могут быть установлены перцептивцо, тогда как количества включают длительно вырабатываемую структуру, сложность которой мы только что видели (пп. 23 – 26). В действительности функции и качественная тождественность составляют только дооперациональную и качественную половину логики, они ведут к логике обратимых и количественных соответствий, но недостаточно могущественны, чтобы отвечать за нее.

27. Этот количественный аспект конкретных операций в противоположность качественной природе дооперациональных функций и тождественностей открывается, в частности, в построении (в возрасте 7 – 8 лет) операций, связанных с числом и измерением, частично изоморфных друг другу, но имеющих совершенно различное содержание. Построение количественных чисел не может объясняться просто установлением взаимно-однозначных соответствий между эквивалентными классами, как считали Рассел и Уайтхед, потому что использованные ими соответствия, отвлеченные от качеств (в противоположность качественным соответствиям между индивидуальными объектами, обладающими одними и теми же свойствами), имплицитно вводят единицу и число, что приводит к порочному кругу. В действительности, когда мы имеем дело с ограниченными совокупностями, количественные числа не могут быть диссоциированы от порядковых, подчиняясь трем следующим условиям.

а. Абстракция от качеств, делающая все отдельные объекты эквивалентными, и поэтому 1 = 1 = 1.

b. Упорядочение; 1 → 1 → 1..., которое необходимо для различения объектов друг от друга, иначе было бы справедливо равенство 1 + 1 = 1.

с. Включение (1) в (1 + 1), затем (1 + 1) и (1 + 1 + 1) и т.п.

Поэтому целые числа являются результатом синтеза упорядочивания (сериация) и включения (классификация), которые необходимы для абстрагирования от качеств. Отсюда целые числа строятся из чисто логических элементов (сериации и классификации), но последние реорганизуются, составляя, новый синтез, допускающий квантификацию посредством процесса итерации: 1 + 1 = 2 и т.п.

Сходным образом измерение континуума (например, линии, поверхности) предполагает: (а) его разбиение на сегменты, один из которых затем выбирается в качестве единицы и приравнивается к остальным посредством конгруэнтности: а = а = а..., (b) определенное упорядочение этих единиц: а а... и т. п. и (с) приведение единиц в виде аддитивных композиций: а в (а + а) и (а + а) в ( а + а + а). Таким образом, данный синтез разбиения и включения сегментов и упорядочения изоморфен синтезу упорядочения и включения, характеризующему число, что дает возможность использовать число для измерения.

Поэтому ясно, что, не прибегая ни к чему другому, кроме синтеза элементарных «группировок» включения и порядка, субъект достигнет числовой или метрической квантификации, мощь которой далеко превосходит элементарные квантификации (отношения между частью и целым) классификаций или сериаций, основанных на различениях, оцениваемых просто как «больше» или «меньше».

28. За конкретно-операциональными структурами, упомянутыми в п, 23, в возрасте 11 – 15 лет происходит построение двух новых структур, делающих возможной манипуляцию такими пропозициональными операциями, как импликация (p ⊃ q), несовместимость (p / q) и дизьюнкция (p ∨ q) и т. п. Такими новыми структурами являются «группа четырех» и комбинаторные операции.

Комбинаторика на этой стадии состоит в классификации всех возможных классификаций (так же как перестановки являются сериацией сериаций) аа, ab, ac, bc, bb, сс и т. п. и поэтому составляют не полностью новую операцию, но операцию над другими операциями. Сходным образом группа четырех INRC⁷ является результатом объединения в целое инверсий N и реципрокностей R (поэтому появляется инверсия реципрокности С (NR = C), так же как и тождественная операция 1 = NRC. Но инверсия уже существовала в группировках классов в форме А – А = 0, а реципрокность – в группировках отношений в виде А = В, откуда В = А. Группа INRC, таким образом, вновь является операциональной структурой, имеющей отношение к предшествовавшим операциям. Что до пропозициональных операций (p ⊃ q) и т. п., которые включают как комбинаторику, так и группу INRC, то они новы по форме, но по своему содержанию относятся к связям между классами, отношениями или числами, и поэтому опыты являются операциями над операциями.

Вообще операции, принадлежащие третьему периоду развития (см. п. 10, период С для возраста 11 – 12 лет), уходят корнями в конкретные операции (подпериод (b.) между 7 и 11 годами), обогащая их, точно так же, как источник конкретных операций лежит в сенсомоторных схемах (период а, до 2 лет), которые они также значительно изменяют и обогащают. Поэтому последовательный характер стадий (который мы уже с достаточной силой подчеркнули в п. 10) с точки зрения построения структур соответствует механизму, который необходимо проанализировать, потому что он слишком важен для того, чтобы просто назвать его секвенциальным, или прогрессирующим, уравновешиванием. Сейчас необходимо понять, как происходят построения, приводящие к возникновению чего-то нового (что является хорошо известной проблемой развития математических структур).

29. Мы видели (п. 21, с), что уже до уровня построения логико-математических операций и поэтому до возникновения дедуктивных систем можно было говорить о логико-математических экспериментах, извлекающих информацию из свойств действия, выполненных на объектах, а не из самих объектов, что совершенно различные вещи. Поэтому в противоположность собственно абстракции в данном случае мы имеем новый тип абстракции, которую можно назвать рефлексивной и которая является ключом к интересующей нас проблеме. Чтобы абстрагировать свойство из действия или операции, недостаточно просто отделить его от тех свойств, которые в дальнейшем не будут приниматься во внимание (например, выделить «форму» и отбросить «содержание»); свойство или форма, выделенные таким образом, должны быть дополнительно транспонированы куда-либо, т. е. перенесены в другой план действия или операции. В случае простой абстракции такой проблемы не возникает, поскольку тогда мы имеем дело со свойством объекта, ассимилируемым субъектом. Однако в случае рефлексивной абстракции, когда субъект извлекает свойство или форму из действий (операций) плана P₁, он должен затем перенести их в более высокий план Р₂, что является их отражением (рефлексом) в квазифизическом смысле (как при отражении луча света). Но для того чтобы данная форма или свойство были ассимилированы в новом плане Р₂, они должны быть реконструированы в этом новом плане и подвергнуты новому мыслительному процессу, который будет теперь означать «отражение» (рефлексию) в когнитивном смысле. Поэтому «рефлективную абстракцию» необходимо понимать в обоих смыслах.

Но если для ассимиляции свойств или форм, абстрагированных в плане P₁, необходим новый когнитивный процесс в плане Р₂, то это означает, что новые операции или действия плана Р₂ будут добавлены к операциям или действиям плана Р₁, из которого была абстрагирована данная информация. Следовательно, рефлексивная абстракция по необходимости является конструктивной и обогащающей новыми элементами структуры, выведенные из плана Р₁ что равноценно построению новых структур. Это объясняет, почему конкретные операции, основанные на сенсомоторных схемах, богаче последних, и почему то же самое справедливо для пропозициональных, или формальных операций, которые сами основываются на конкретных операциях. Как операции над операциями, они добавляют новые способы композиции (комбинаторику и т. п.).

Но рефлексивная абстракция является общим процессом построения в математике: например, она служила для выделения алгебры как группы операций над операциями арифметики. Таким же образом Кантор построил трансфинитную арифметику: он поставил во взаимооднозначное соответствие последовательности 1, 2, 3, 4... и 2, 4, 6, 8. Это произвело новое число (N), выражающее «мощность (число) исчисляемого», но не принадлежащее никакой из последовательностей. Современная теория функций таким же образом строит «морфизмы» и т. п., и то же самое справедливо в отношении «материнских структур» Бурбаки.

Замечательно то, что процесс построения структур, который мы наблюдали в последовательных стадиях развития ребенка и в механизмах уравновешивания посредством саморегуляции (что имеет результатом саморегуляцию с помощью обратной связи высшего порядка, т. е. обратимой операции), совпадает с постоянным конструирующим процессом, используемым математикой в ее бесконечном продуктивном развитии. В этом состоит решение проблемы развития, несводимого ни к эмпирическому процессу открытия «уже готового» внешнего мира, ни к преформизму или предетерминизму (а priori), также означающим, что все «уже готово» от начала. Мы считаем, что истина лежит между двумя этими крайностями, т. е. в конструктивизме, выражающем тот способ, которым постоянно вырабатываются новые структуры.

7. Группа INRC – это группа операций, которые выполняются на операциях или элементах какой-либо другой алгебраической структуры и имеют инволютивную операцию (операцию, являющуюся своей собственной инверсией; N² = 1). Примером инволютивной операции является закон двойственности (де Моргана) в булевой алгебре p ∨ q = p ∧ q  который мы можем записать: N(p ∨ q) = p ∧ q (N обозначает отрицание). Если мы определим С (коррелятивность) как правило, которое действует на отношениях, изменяя∧на∨и наоборот, и R (симметрию) как правило, которое действует по отношению к знакам истинности, меняя p на p и обратно, то, используя последовательно С и R (скажем, на (p ∨ q)), мы получим тот же результат, что и при использовании N. Следующая диаграмма иллюстрирует отношения между N, R и С, применяемыми в (p ∨ q):

Тождественность I может быть определена как правило, которое изменяет любую формулу в самое себя, и посредством «прогона» по диаграмме легко может быть проверена последовательность следующих свойств:

а. RC = N, RN = C, CN = R, и все пары обладают коммутативностью RC = CR, etc.

b. С² = N² = R² = I (все трансформации являются инволютивными, т. е. для каждого элемента определена инверсия).

с. RNC = I.

На основании этого можно показать, что группа INRC вместе с операцией композиции (понимаемой в обычном смысле слова как применение трансформации к результату другой) является группой четырех элементов, не составляющей кольцо (известной как «группа четырех» Клейна).

Группа INRC также может быть определена на физической системе, имеющей соответствующую структуру (т. е. инволютивную трансформацию, которая может быть «разложена» на две другие инволютивные трансформации). Один из экспериментов Пиаже на системе с двойным отсчетом включал ситуацию: на маленькой дощечке находилась улитка, которая могла ползти слева направо и обратно, причем саму дощечку также можно было перемещать в обе стороны вдоль стола. Можно определить С как правило, обращающее перемещение улитки: C(Z, Z) = (R, Z), где (R, Z) означает, что улитка движется вправо, а дощечка – влево (первая координата). Тогда мы можем определить R как правило, обращающее перемещение вдоль второй координаты, например R(Z, Z) = (Z, R) (обращение перемещения дощечки). Диаграмма имеет ту же структуру, что и предыдущая, и N (N обращает перемещения по обеим координатам) будет являться результатом