8.3. Параметрические методы классификации.

В непараметрических методах классифицируются не все точки изображения, а только те, сигнатуры которых попадают в ограниченные нами области признакового пространства. Остальная часть признакового пространства образует области отказов от распознавания. Что же делать с такими точками?

Мы, конечно, можем отнести все эти точки в класс отказов и назвать его «прочие объекты». Однако иногда требуется сплошная классификация, то есть все пиксели должны быть куда-то отнесены. В этом случае применяются так называемые параметрические методы, в которых используются определенные предположения о характере статистического распределения сигнатур в классах и соответствующие параметры такого распределения.

В таком случае аналитическое решение задачи удобнее искать, записав d(x) отдельно для каждой пары соседних классов: d₁₂(x), d₁₃(x) и т.д. Уравнение разделяющих функций d(x)_ks=0 для пары классов k, s тогда можно преобразовать к виду

r_k(x)-r_s(x)=0,

или, иначе, r_k(x)=r_s(x),

а неравенства, ограничивающие область решения для k-го класса, представить в виде r_k(x)>r_s(x) . В такой постановке построение алгоритма распознавания при заданном наборе классов {A_k} сводится к выбору К решающих функций r_k(x), по которым на области (k) выполняется условие

r_k(x)>r_s(x) для всех sk, k,s=1,..., K.

Тогда задача классификации конкретного вектора-образа х сводится к вычислению r_k(x) для всех k=1,...,K и нахождению :

r_s(x)=  x A_s.

В пакетах тематической обработки обычно используется предположение, что закон распределения сигнатур классов является гауссовым (нормальным). Плотность нормального распределения имеет вид:

График плотности нормального распределения p(x) в одномерном случае со средним значением m=0 и среднеквадратическим отклонением σ=1 показан на рис.20. Заметим, что площадь под графиком между двумя пунктирами (на уровне одного σ) P0.683, на уровне двух σ - P0.845, на уровне трех σ - P0.999. Эти величины имеют большое значение при оценке ожидаемой величины ошибки классификации.

Если шкала значений x дискретна, что имеет место для яркостей пикселей, то каждое значение p(x_i) есть вероятность появления конкретного значения x_i.

Характер распределения p(x) можно визуально оценить, построив гистограмму изображения по объекту или группе объектов определенного класса. Напомним, что гистограмма показывает количество пикселей n(x_i) для каждого значения x_i. Если гистограмму n(x_i) нормировать к общему числу N пикселей, по которому построена гистограмма, то при достаточно большом количестве пикселей величина n(x_i)/N как раз и даст нам эмпирическое (приблизительное) значение p(x_i).

Для многомерного нормального распределения график плотности p(x) представляет собой в общем случае «гиперколокол» с вектором средних значений m, сечения которого в разных направлениях имеют разные значения σ. Поэтому рассеяние вокруг среднего значения описывается ковариационной матрицей

C=M[(x_i-m_i)(x_j-m_j)], i=1,…n,j=1,…,n. (19)

Здесь М[] обозначает среднее значение, которое обычно рассчитывается по доступной статистической выборке.

С рез такого многомерного «гиперколокола» p(x) параллельно гиперплоскости аргументов x представляет собой гиперэллипсоид рассеяния с центром m. На рис.21 показан пример таких сечений для функций распределения спектральной яркости трех классов на диаграмме рассеяния в красном и ближнем ИК диапазонах.

Нормальное распределение в одномерном случае полностью описывается двумя численными характеристиками (параметрами) – средним значением m и среднеквадратическим отклонением . Их называют, соответственно, первым и вторым моментами распределения. Соответствующее многомерное распределение описывается вектором средних m и ковариационной матрицей C.

К параметрическим методам классификации можно условно отнести и неконтролируемую классификацию, поскольку в ней используется, по меньшей мере, один параметр статистического распределения признаков внутри каждого класса – вектор их средних значений m.