18. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

y=kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом (k=tgα, где k и tgα - угловой коэффициент прямой,α – угол между прямой и осью Ox).

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следова­тельно, уравнение этой прямой будет иметь вид y=kx.

Если прямая параллельна оси Ox, то a = 0, следовательно, k = tgα = 0 и уравнение примет вид у = b.

Если прямая параллельна оси Oy, то α=pi/2 уравнение теряет смысл, т.к. для нее угловой коэффициент не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид x=a, где a — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox.

19. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение пучка прямых.

M(x₀;y₀) – точка, через которую проходит прямая. Подставляем в y=kx+b, выражаем b и подставляем его в y=kx+b. Получаем y-y₀=k(x-x₀) - уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении или уравнение пучка прямых.

20. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂) – точки, через которые проходит прямая. Если подставить координаты первой точки в уравнение пучка прямых, то получим y-y₁=k(x-x₁) => k=(y-y₁)/(x-x₁). Т.к эта прямая проходит и через точку M₂, то ее координаты тоже удовлетворяют уравнению пучка прямых с подставленными координатами точки M₁. Отсюда имеем: (y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁) – уравнение прямой, проходящей через две точки.

Уравнение в отрезках.

Пусть прямая пересекает Ox в точке M₁(a;0) и Oy в точке M₂(0;b). Тогда подставив эти координаты в уравнение прямой проходящей через 2 точки получим (y-0)/(b-0)=(x-a)/(0-a) => (x/a)+(y/b)=1 – это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

21. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Рассмотрим вектор n(A;B) перпендикулярный прямой. Возьмем на прямой произвольную точку M(x;y). Точка M₀(x₀;y₀) принадлежит прямой. Рассмотрим вектор M₀M(x-x₀;y-y₀). Вектор M₀M перпендикулярен вектору n, тогда их скалярное произведение равно 0, т.е (M₀M,n)=0 => A*(x-x₀)+B(y-y₀)=0 – это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Полярное уравнение прямой.

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно опреде­лить, указав расстояние p от полюса O до данной прямой и угол α между полярной осью OP и осью l, проходящей через полюс O перпендикулярно данной прямой. Для любой точки M(r;φ) на данной прямой имеем: пр_lOM=p. С другой стороны, пр_lOM=|OM|*cos(α-φ)=r*cos(α-φ), где α – угол между осью OP и осью l, а φ – угол между осью OP и вектором OM.

Следовательно, r*cos(α-φ)=p – уравнение прямой в полярных координатах.

22. Нормальное уравнение прямой.

Пусть прямая определяется заданием p и α. Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxy. Введем полярную систему координат, взяв O за полюс и Ox за полярную ось. Тогда уравнение прямой можно записать в виде r*cos(α-φ)-p=0, т.е. r*cosφ*cosα+r*sinφ*sinα-p=0.

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: r*cosφ=x, r*sinφ=y. Следовательно, уравнение прямой r*cos(α-φ)=p в прямоугольной системе координат примет вид x*cosα+y*sinα-p=0. Такое уравнение называется нормальным уравнением прямой.

Угол между двумя прямыми.

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициен­тами y=k₁x+b₁ и y=kx₂+b₂. Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительном направлении прямую L₁ вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой L₂.

Рассмотрим треугольник ABC. Для данного треугольника α₂ яаляется внешним углом. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника α₂= α₁+φ => φ=α₂-α₁, tgφ=tg(α₂-α₁)=(tgα₂-tgα₁)/(1+tgα₂*tgα₁) => tgφ=(k₂-k₁)/(1-k₁*k₂) – что и является формулой угла между прямыми. Для того чтобы рассмотреть острый угол между двумя прямыми в последнем равенстве правую часть возьмем под знак модуля: tgφ=|(k₂-k₁)/(1-k₁*k₂)|.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Из формулы tgφ=(k₂-k₁)/(1-k₁*k₂) можно рассмотреть условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Если прямая L₁ параллельна прямой L₂, то φ=0 => tgφ=tg0=0 => |(k₂-k₁)/(1+k₂*k₁)|=0 (тогда и только тогда, когда) k₂-k₁=0 => k₂=k₁.

Если прямая L₁ перпендикулярна прямой L₂, то φ=pi/2=90̊ , но tg(pi/2) не существует, тогда ctg(pi/2)=0 => ctgφ=(1+k₁*k₂)/(k₂-k₁)=0  (тогда и только тогда, когда) 1+k₁*k₂=0 => k₂=(-1/k₁).

Расстояние от точки до прямой.

Пусть заданы прямая L уравнением Ax+By+C=0 и точка M₀(x₀;y₀). Требуется найти расстояние от точки M₀ до прямой L.

Решение:  Расстояние d от очки M₀ до прямой L равно модулю проекции вектора M₀M₁, где M₁(x₁;y₁) – произвольная точка прямой L, на направлении нормального

Вектора n=(A;B). Следовательно, d=|пр_nM₁M₀|=|( M₁M₀*n)/(|n|)|=(|(x₀-x₁)*A+(y₀-y₁)*B|)/(квадратный корень(A²+B²))=(|A*x₀+B*y₀-A*x₁-B-y₁|)/(квадратный корень(A²+B²)).

Так как точка M₁(x₁;y₁) принадлежит прямой L, то A*x₁+B*y₁+C=0, т.е. C=-A*x₁-B*y₁. Поэтому d=(|A*x₀+B*y₀+C|)/(квадратный корень(A²+B²)), что и является формулой расстояния от точки до прямой.