8. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

{a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + . . . + a_1nx_n = b₁,

{a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + . . . + a_2nx_n = b₂,

{. . .

{a_m1x₁ + a_m2x₂ + . . . + a_mnx_n = b_m,

где заданные числа a_ij (i = 1 до m, j = 1 до n) называются коэффициентами системы, заданные числа b_i (i = 1 до m) – свободными членами. Подлежат нахождению значения x_j (j = 1 до n).

Матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов B, называется расширенной матрицей системы. Обозначается ¬A (не А).

Решением системы называется n значений неизвестных x₁ = c₁, x₂ = c₂, . . ., x_n = c_n, здесь c_j (j = 1 до n) – числа, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде вектора-столбца

(с₁)

(с₂)

С=(…)

(с_n)

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое её решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти её общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как x₁ = x₂ = . . . = x_n = 0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

9. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение слау методом Гаусса.

Суть метода: СЛАУ кратко записывается в виде расширенной матрицы, которая с помощью элементарных преобразований над строками приводится к ступенчатому виду. Решение совместной СЛАУ ступенчатого вида находят так: из последнего уравнения СЛАУ находят значение неизвестной x_n и подставляют в вышестоящее уравнение, чтобы найти значение неизвестной x_n-1. Далее, используя значения этих двух неизвестных, поднимаются на ступеньку выше и находят значение неизвестной x_n-2 и так далее. Последним находят значение неизвестной x₁ из 1-го уравнения ступенчатой СЛАУ.

10. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение слау методом Крамера.

Формулы Крамера: x₁=Δ₁/ Δ; x₂= Δ₂/ Δ; …; x_n= Δ_n/ Δ, где Δ = det A (А – элементы основной матрицы, det A ≠ 0), а Δ_k - определитель матрицы, полученный из А заменой k-го столбца на столбец свободных коэффициентов.

Правило решения произвольной системы линейных алгебраических уравнений:

1) Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A) ≠ r(¬A), то система несовместна.

2) Если r(A) = r(¬A) = k, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка k. Взять k уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные (n−k) неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.

3) Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

4) Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

11. Системы линейных однородных уравнений. Для того, чтобы СЛОУ с n неизвестными имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Δ был равен 0 (Δ=0).

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Связь между решениями однородной и неоднородной систем.

Сумма любого решения неоднородной системы с любым решением ее приведенной системы также является решением неоднородной системы.

Разность двух любых решений неоднородной системы является решением ее приведенной системы.