59.Интерполяция по Лагранжу.

П усть зависимость y(x) задается n+1 табличным значением (xi,yi). Интерполяционный многочлен для этого метода имеет вид P_n(x)=y₀b₀(x)+…+y_nb_n(x), где bj(x)многочлены степени n,коэф-ты кот можно найти с помощью n+1 уравнений. P_n(xi)=yi,i=0,1,2…n,В результате получим систему ур-ний y₀b₀(x_n)+…+y_nb_n(x_n)=y_n, причем b_j(x_i)= 1, i=j; 0, i/=j,

Тогда, в общем случае b_j(x_i)=С_j(x-x0)(x-x1)…(x-xn); так как b_j(x_i)= 1, то коэф С определяется выраж. С=1/(x_j-x0)…(xj-xn);В результате для интерпоняционного многочелена получаем. P_n(x)=∑y_j*(x-x0)(x-x1)…(x-xn)/(xj-x0)(xj-x1)…(xj-xn)

Введя обозначения L_j(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn);запишем многочлен в более компактном виде P_n(x)=∑y_j* L_j(x)/L_j(xj) – общая формула Лагранжа. «-» нельзя контролировать точность вычисления, выборка должна быть симметричной. + простота.

60. Метод разделенных разностей.

Интерполяционный многочлен для этого метода имеет вид: P_n(x)=C₀+C₁(x-x0)+…+C_n(x-x0)(x-x1)..(x-x_n-1) (1);Коэффициенты C_j находятся из ур-ний P_n(xi)=yi, I =0,1,…n;позволяющих записать систему: c₀=y₀;c₀+c₁(x1-x0)=y1;…;c₀+…c_n(xn-x0)(xn-x1)…(xn-x_n-1)=y_n. Из этой системы ур-ний определяем C_j, используя правые конечные разности.если X_i+1-X_i=h, то cистема примет вид: y0=c0; y1=c0+c1h; y2=c0+c1(2h)+c2(2h²); yi=c0+c1*i*h+c2*i*h[(i-1)h]+…+c(i!)hⁱ => получаем для коэф-тов: с0=y0; c1=(y1-c0)/h=(y1-y0)/h=∆y₀/h, где ∆y0 есть первая правая разность, продолжив вычисления находим c₂=∆²y0/2h², где ∆²y₀ вторая правая разность,представляющая собой разность разностей. Формулу С_i представим в общем виде: С_i =∆^jy₀/(j!)h^j; в общем случае разности более высоких порядков определяются выражением:∆^jY_i=∆^j-1y_i+1-∆^j-1y_i; «+» не обязательно складывать много слагаемых т.е можно складывать с контролем погрешности в (1).

61-62-63-64. Метод наименьших квадратов.

Решается задача построения аналитической (формульной) зависимости y=f(x,a0,a1,…ak)на основе табличной. Зависимости получаемой в результате каких-л экспериментов. Полностью решить задачу на компьютере невозможно,нужно найти вид зависимости,а программа расчитывает только коэффициенты. Требуется так подобрать параметры ф-ции a0,a1,…ak,чтобы разности f(x,a0…ak) и y_i были наименьш.Так как разности могут быть как + так и – то за критерий качества S(a0…ak) принимают наименьшую сумму квадратов разностей. S(a0…ak)=∑[f(xi,a0,a1,…ak)-y_i]² = min; как известно из теории ф-ции многих переменных необходимым условием минимума ф-ции S(a0…ak) явл. равенство нулю всех ее первых производных. Метод наименьших квадратов сам по себе не может дать ответ на вопрос о наилучшем виде аппроксимирующей ф-ции.Вид ф-ции определяется на основе граф.изображения данных эксперимента.

61.Для аппроксимации данных квадратичной ф-ции сначало приводи ее к линейному виду, путем замены: y=a₀+a₁x², x^’=x² получ. Y=a₀+a₁x^’ –линейная ф-ция.(для каждого варианта своя замена)

Далее запишем критерий аппроксимации для лин ф-ции S(a0…ak)=∑[f(xi,a0,a1,…ak)-y_i]² = min, Условие минимума; ds/da₀=2∑[a0+a1xi-yi]=0 и ds/da1=2∑[a0+a1xi-yi]xi=0

Раскрывая знаки суммы и обозначив А=∑xi; B=∑yi;C=∑xi²; D=∑xiyi получим систему 2х лин ур-ний с 2мя неизвестными. na0+Aa1=B; Aa0+Ca1=D;

Решая ее по методу Крамера(разделим определители системы) получим

а₀=(BC-AD)/(nC-A²) ; a₁=(nD-AB)/(nC-А²). Полученные числовые значения обеспечивают максимальное близкое прохождение ф-ции к табличным точкам.

62.Для аппроксимации данных обратнопропорциональной ф-ции сначало приводи ее к линейному виду, путем замены: y=1/(a0+a1x); y’=1/y получ. Y=a₀+a₁x^’ –линейная ф-ция.

63. Для аппроксимации данных показательной ф-ции сначало приводи ее к линейному виду, путем замены: y=a₀a₁^x ; lny=lna₀+xlna₁ ;y’=lny a0’=lna₀, a₁’=lna₁₌₌ получ. Y=a₀+a₁x^’ –линейная ф-ция.

64. Для аппроксимации данных показательной ф-ции сначало приводи ее к линейному виду, путем замены: y=a₀x ^a x’=lnx; ; y’=lny;a0’=lna0 ₌₌ получ. Y=a₀+a₁x^’ –линейная ф-ция.