Нормальная форма

Нормальная форма конечной антагонистической игры сводится к некоторой матрице А с числом строк, равным числу стратегий игрока 1 и с числом столбцов, равным числу стратегий игрока 2.

,

где а_ij – величина выигрыша, если 1-ый игрок выбирает стратегию i, а 2-ой – стратегию j, – число стратегий первого игрока, – второго игрока.

Ситуация (пара стратегий) будет равновесной тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент а_ij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой.

Пример⁰. Матрица игры с седловой точкой: . (*)

Пример⁰. Матрица игры – не имеет седловой точки.

Величина а_ij представляет собой выигрыш 1-го игрока при его i-ой стратегии, если 2-й игрок придерживается своей j-ой стратегии.

1-й игрок стремится максимизировать а_ij, а 2-й – минимизировать. Ни один из игроков не знает заранее стратегии противника. А это имеет большее значение для выбора собственной стратегии.

Если матрица игры имеет седловую точку, то очевидно, что 1-ый игрок будет использовать эту стратегию, даже, если 2-й игрок её узнает. Иллюстрацией может служить пример *.

Т.е., если игра с седловой точкой, то её нахождение уже есть решение игры, т.к., если игрок 1-й выберет эту стратегию, то неважно, знает ли это 2-й игрок.

Смешанные стратегии. Максиминные и минимаксные стратегии игроков.

Предположим, что мы играем в игру без седловой точки. Например, игра с матрицей

Предположим, что мы – 1-й игрок. А второй игрок всегда угадывает нашу стратегию.

В этой ситуации мы можем гарантировать нижний выигрыш

.

Поставим себя на место 2-го игрока, тогда в такой же ситуации (1-й всегда угадывает нашу стратегию) и верхний проигрыш

Таким образом, для матричных игр мы имеем понятия нижнего выигрыша и верхнего проигрыша. Легко доказывается, что .

Если имеет место равенство, то получаем седловую точку. Если равенство не имеет места, то получаем игру без седловой точки. Для такой игры не определено, что же в действительности произойдет. Можно ли утверждать, что (при разумном поведении) первый игрок не должен выиграть меньше, чем , а второй не должен проиграть больше, чем ?

Если в игре без седловой точки, мы раскроем противнику свою стратегию, то максимум, на что можем рассчитывать, это – нижний выигрыш, если поставим себя на место 1-го игрока, или – верхний выигрыш, если – на место 2-го игрока.

Если же мы стремимся добиться большего, то нельзя раскрывать свои стратегии. Это трудно осуществить, т.к. если мы выбираем свою стратегию на основании каких-то рассуждений, то ничто не мешает противнику воспроизвести наши рассуждения.

Отсюда напрашивается вывод, стратегия должна (может) выбираться случайно (с использованием элементов случайности), не на основании каких-то разумных соображений, но сама схема рандомизации (ввода случайности) должна выбираться разумно. В этом и состоит идея использования смешанных стратегий.

Определение. Смешанная стратегия игрока есть вероятностное распределение на множестве его чистых стратегий.

В случае, когда игрок имеет только конечное число m чистых стратегий, смешанная стратегия представляет собой m-мерный вектор , удовлетворяющий условиям:

, (1)

(2)

Обозначим множество всех смешанных стратегий игрока 1 через , а множество всех смешанных стратегий игрока 2 – через .

Предполагаем, что игроки участвуют в игре с матрицей А. Если игрок 1 выбирает смешанную стратегию , а 2-й – , то ожидаемый выигрыш будет равен

. (3)

Или в матричных обозначениях (4)

Как и прежде, игрок 1 должен опасаться, что игрок 2 раскроет его выбор стратегий. Если бы это случилось, то игрок 2 выбрал бы так, чтобы минимизировать , т.е. нижний выигрыш игрока 1, при условии, что он выберет стратегию

. (5)

можно рассматривать как взвешенное среднее ожидаемых выигрышей для игрока 1, когда он использует против чистых стратегий игрока 2. Таким образом, этот минимум будет достигаться на некоторой чистой стратегии j:

(6)

где – j-й столбец матрицы А.

Поэтому игрок 1 должен выбрать так, чтоб максимизировать , т.е. что бы получить

. (7)

Такая стратегия называется максиминной стратегией игрока 1.

Аналогично, если игрок 2 выбирает стратегию , он будет иметь ожидаемый верхний проигрыш.

, (8)

где – i-тая строка матрицы А, и должен выбрать так, что бы иметь

(9)

Такая стратегия у называется минимаксной стратегией игрока 2. Числа и называются значениями игры для игроков 1 и 2 соответственно.