Ситуации равновесия

Определение. Пусть дана игра Г. Говорят, что ситуация (т.е. какой-нибудь n-набор стратегий) равновесна, или, что она является ситуацией равновесия, если для любого и для любого имеет место неравенство

Другими словами – ситуация равновесна, если не один игрок не имеет никаких разумных оснований для изменения своей стратегии при условии, что все остальные игроки собираются придерживаться своих стратегий. В этом случае, если каждый игрок знает, как будут играть остальные, он имеет основания придерживаться той стратегии, которая соответствует этой ситуации равновесия; тем самым игра становится весьма устойчивой.

Пример⁰. Для игры в нормальной форме

как , так и являются ситуациями равновесия.

К сожалению, не каждая игра обладает ситуациями равновесия. Например, игра в “Орлянку” такой ситуации не имеет.

	“Р”	“О”
“Р”	(−1, 1)	(1, −1)
“О”	(1, −1)	(−1, 1)

Вообще, если игра не имеет ситуаций равновесия, то обычно некоторые игроки пытаются отгадать стратегии остальных игроков, сохраняя собственные стратегии в тайне. Это наводит на мысль, что в играх с полной информацией ситуации равновесия существуют (в конечных играх).

Действительно, справедлива следующая теорема:

Теорема: Любая конечная игра n лиц с полной информацией имеет ситуацию равновесия.

Игры с нулевой суммой. Антагонистические игры. Теорема о ситуациях равновесия.

Определение. Игра называется игрой с нулевой суммой, если в каждой окончательной позиции функция выигрыша , где – выигрыш i-го игрока в этой позиции, удовлетворяет условию: (1)

Вообще говоря, игра с нулевой суммой представляет замкнутую систему: все то, что кто-нибудь выиграл, должно быть кем-то проиграно.

Игры двух лиц с нулевой суммой называются антагонистическими, или строго конкурентными.

В случаях антагонистической игры можно просто задавать первую компоненту вектора выигрышей; вторая компонента равна первой с противоположным знаком. Т.е. первая компонента называется просто выигрышем,

Это означает, что второй игрок отдает эту сумму первому.

В антагонистических играх нет никаких оснований для переговоров между игроками: т.к., если один выигрывает, то другой проигрывает. Этим антагонистические игры отличаются ото всех остальных.

Теорема о ситуациях равновесия:

Пусть и – две ситуации равновесия антагонистической игры. Тогда

1) и также являются ситуациями равновесия и

2) . (2)

Доказательство. Ситуация равновесна. Следовательно . Т.Е. Выбор любой другой стратегии первым игроком, при условии, что второй сохранит стратегию , приводит к худшему результату.

С другой стороны, ситуация также равновесна. Поэтому . Т.е., так как ситуация равновесна, то выбранная вторым игроком стратегия увеличивает его проигрыш (следовательно увеличивается выигрыш первого). Таким образом