Нормальная форма игры

В интуитивном понимании стратегия есть некоторый план развертывания игры.

Определение. Стратегия i-го игрока есть некоторая функция, которая ставит в соответствие каждому информационному множеству этого игрока некоторый индекс из .

Будем обозначать множество всех стратегий i-го игрока через . Вообще говоря, игрок принимает решение о своем ходе в игре обычно в тот момент, когда надо делать этот ход. Однако с чисто теоретической точки зрения можно абстрагироваться от такого практического ограничения и предполагать, что уже до начала игры каждый игрок решил, что он будет делать в каждом случае. Т.е. предполагаем, что каждый игрок выбрал некоторую стратегию уже до начала игры.

Поскольку это так, то остается лишь произвести случайные ходы. Более того, все случайные ходы можно объединить в один ход, результат которого вместе с выбранными стратегиями определяет исход игры.

Нас, как и игроков, интересует, какие из стратегий являются наилучшими с точки зрения максимизации доли каждого игрока в выигрыше: i-ый игрок стремится максимизировать i-ю компоненту функции выигрыша.

Т.к., однако, результаты случайных ходов известны только в вероятностном смысле, то естественно рассматривать математическое ожидание функции выигрыша, определенное в случае, когда игроки используют данный n-набор стратегий, т.е данную ситуацию. Поэтому для описания математического ожидания функции выигрыша при условии, что i-ый игрок применяет стратегию , можно использовать следующее обозначение:

Функцию на множестве всех взаимных значений , …, можно выразить либо в форме соотношения, либо в виде n- мерной таблицы n-мерных векторов. В случае n=2 эта запись сводится к матрице, элементами которой являются пары вещественных чисел. Такая n-мерная таблица называется нормальной формой игры.

Пример⁰. Для игры в “Орлянку” нормальной формой игры является матрица

	“Р”	“О”
Р”	(−1, 1)	(1, −1)
О”	(1, −1)	(−1, 1)

Здесь каждая строка представляет стратегию игрока 1, а столбец − стратегию игрока 2.

Пример⁰. Рассмотрим следующую игру. Случайно выбирается целое число z с возможными значениями 1, 2, 3, 4, каждое с вероятностью . Игрок I не зная результата этого хода, выбирает целое число x. Игрок II, не зная ни z, ни х, выбирает целое число у.

Выигрыш определяется следующим образом: , т.е. целью является выбор числа, по возможности близкого к z.

В этой игре каждый игрок имеет 4 стратегии: 1, 2, 3, 4, так как от других чисел мало проку. Если игрок I выбирает 1, а, игрок II − 3, то выигрыш будет равен (2, -2) с вероятностью , (0,0) - с вероятностью и (-2, 2) с вероятностью . Ожидаемый выигрыш тогда равен:

.

Подсчитав все значения, получим таблицу:

	1	2	3	4
1	(0, 0)	(−1/2, 1/2)	(−1/2, 1/2)	(0, 0)
2	(1/2, −1/2)	(0, 0)	(0, 0)	(1/2, −1/2)
3	(1/2, −1/2)	(0, 0)	(0, 0)	(1/2, −1/2)
4	(0, 0)	(−1/2, 1/2)	(−1/2, 1/2)	(0, 0)

Определение. Игра называется конечной, если число стратегий всех игроков является конечным. Или. Игра называется конечной, если ее дерево содержит только конечное число вершин.