Принятие решений в условиях риска

Такая задача возникает в том случае, когда с каждой принимаемой стратегией связано целое множество различных результатов , _{, …,} c известными вероятностями .

Формально модель задачи может быть представлена в виде следующей матрицы:

xi\0j			…..
	L11	L12	…..	L1m
	L21	L22	……	L2m
……	…..	…..	……
	Ln1	Ln2	……	Lnm

Где – полезность результата при использовании решения .

Пусть заданы условные вероятности , , . Вводят ожидаемую полезность для каждой стратегии

, .

Решающее правило для определения оптимальной стратегии: следует выбрать ту стратегию, которая дает максимальную ожидаемую полезность, т.е.

.

Принятие решений в условиях неопределенности

Одним из определяющих факторов в таких задачах является внешняя среда или природа, которая может находиться в одном из состояний , , …, , которые неизвестны лицу (наблюдателю) принимающему решения.

Тогда математическую модель задачи в условиях неопреде­ленности можно сформулировать следующим образом.

Имеется некоторая матрица размерности m  n с элементами, рассматриваемыми как полезность результата при использовании стратегии , , .

В зависимости от состояния среды результат достигается с вероятностью .

xi\0j			…..
	L11	L12	…..	L1m
	L21	L22	……	L2m
……	…..	…..	……
	Ln1	Ln2	……	Lnm

Кроме того, наблюдателю неизвестно распределение вероятностей . Относительно состояния среды наблюдатель может высказать только определенные гипотезы. Его предположения о вероятном состоянии среды называются субъективными вероятностями  , .

Если бы величины были известны наблюдателю, то мы бы имели задачу принятия решений в условиях риска, и в этом случае решающее правило для определения стратегии определялось бы следующим образом:

На самом же деле состояния среды неизвестны и неизвестно также распределение вероятностей .

Существует несколько критериев для выбора оптимальной стратегии.

Критерий Вальда. Или критерий осторожного наблюдателя. Этот критерий оптимизирует полезность в предположении, что среда находится в самом невыгодном для наблюдателя состоянии. По данному критерию решающее правило имеет следующий вид:

, где , , .

По критерию Вальда выбирают стратегию, которая дает гарантированный выигрыш при наихудшем варианте состояния среды.

Критерий Гурвица. Основан на следующих двух предположениях: среда может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью и в самом выгодном с вероятностью , где - коэффициент доверия. Тогда решающее правило записывается следующим образом: ,

Если , то получаем критерий Вальда. Если ,то приходим к решающему правилу вида

– так называемая стратегия “здорового оптимиста”, который верит в свою удачу.

Критерий Лапласа. Если никакой информации о вероятностях состояний среды нет, то все состояния среды считаются равновероятными:

.

В результате решающее правило определяется соотношением (1):

при условии .

Критерий Сэвиджа. Или критерий минимизации “сожалений”. “Сожаление “ – это величина, равная изменению полезности результата при данном состоянии среды относительно наилучшего возможного состояния.

Чтобы определить “сожаление” поступают следующим образом. Строят матрицу , где , .

В каждом столбце этой матрицы находят максимальный элемент , который вычитают из всех элементов этого столбца. Далее строим матрицу сожалений

Искомую стратегию , которая минимизирует “сожаление”, определяют из условия

.

Этот критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние среды наихудшим образом отличается от предполагаемого.