Условия Куна-Таккера для задачи выпуклого нелинейного программирования
Пусть имеем задачу
При
,
,
(1)
,
где
и
– выпуклые функции, тогда эта задача
называется задачей выпуклого
программирования.
Эту задачу кратко
можно записать в виде
(1*) или
,
где
.
Задача максимизации вогнутой целевой функции
При
,
,
,
где – вогнутые функции, легко может быть представлена в виде (1), для чего достаточно умножить целевую функцию и ограничения на –1.
Задача выпуклого
программирования представляет собой
наиболее благоприятный случай, так как
если система ограничений совместна, то
есть множество
не является пустым, то задача (1) имеет
единственный экстремум.
Теорема Куна-Таккера представляет собой обобщение классического метода множителей Лагранжа для определения экстремума при наличии ограничений типа равенств на случай, когда появляются и ограничения типа неравенств.
Для задачи (1)
запишем обобщенную функцию Лагранжа,
которая представляет собой функцию
переменных
.
(2)
Определение.
Говорят, что функция
имеет в точке
седловую точку, если
(3)
для всех
из
-окрестности
всех
-окрестности
.
Если неравенство (3) выполняется для
всех
и
,
то говорят, что
имеет в
глобальную седловую точку.
Теорему Куна-Таккера часто называют теоремой о седловой точке, т.к. задача минимизации функции соответствует задаче о нахождении седловой точки функции .
Теорема. Вектор тогда и только тогда представляет решение задачи (1), когда существует вектор такой, что
,
,
(4)
(5)
,
,
Доказательство. Достаточность (4) и (5).
Пусть
и
есть
седловая точка функции
.
Подставим в (5) выражение
из (2):
,
, .
Так как левое неравенство должно выполняться , то
, ,
(т.е. лежит в допустимой области) и
.
Тогда правое неравенство приводится к виду
,
.
Отсюда, так как
,
следует, что
таких, что
,
.
Следовательно,
является решением задачи (1). Достаточность
доказана.
Докажем необходимость. Для доказательства необходимости используется предположение о регулярности допустимой области: существует по крайней мере одна допустимая точка такая, что
,
.
(6)
Если линейны, то предположение о регулярности излишне.
Пусть
является решением задачи (1). Покажем,
что существует
такой, что
удовлетворяет (5). Для этого в пространстве
с координатами
построим два множества точек
и
:
Множества и , очевидно, выпуклы и в силу оптимальности не пересекаются. Поэтому имеется разделяющая гиперплоскость
,
такая, что
(7)
и
.
(Неравенство (7)
остается справедливым и тогда, когда
лежит на границе
.)
Так как по определению
компоненты
могут принимать сколь угодно большие
отрицательные значения, то из этого
неравенства следует, что
.
Выберем
и
,
.
Тогда получим
,
.
(8)
Отсюда
,
ибо в противном случае
было бы
,
(т.к.
),
причем
для любого
и
по крайней мере для одного
.
А неравенство
несправедливо в силу (6) хотя бы для
одного
.
Следовательно,
.
Разделим (8) на
,
положив
,
:
(9)
или
,
,
(9)
причем
.
Положим в (9)
,
тогда
.
Но, так как
и, следовательно,
,
,
то
и
.
(10)
Очевидно следующее
неравенство
для
(11)
Отсюда и из (9) получаем , .
То есть получили (5). Необходимость доказана.
Если функции и являются дифференцируемыми, то условия (4)-(5) эквивалентны следующим условиям Куна-Таккера:
Или в векторной форме:
