Построение начальной l-нормальной целочисленной симплексной таблицы

Мы говорили уже, что исходная таблица должна быть целочисленной и L-нормальной. Допустим, что построили таблицу T₀^ для задачи целочисленного ЛП:

Если T₀^ L-нормальна, то можно переходить к итерациям алгоритма гомори. Если нет, то можно воспользоваться следующим приёмом для получения L-нормальной целочисленной симплексной таблицы.

При условии (**) ищут и находят .

Очевидно, что для всех шагов задачи (1) выполняется .

Следовательно, можно ввести новую переменную , x_n+10, x_n+1 – целое.

Строку x_n+1 приписываем снизу к таблице T₀^ и берём в качестве направляющей. Направляющим столбцом выбираем . - столбец таблицы T₀^ , соответствующий небазисной переменной.

Проделывается одна итерация L-метода, вычёркиваем строку x_n+1 и получаем полностью целочисленную и L-нормальную таблицу T₀^. В дальнейшем, если переменная x_n+1 вводится в базис, то соответствующая строка не восстанавливается.

Алгоритм.

0-ая итерация. Строится исходная таблица T₀ : целочисленная и l-нормальная. Если T₀ является допустимой, то расширенный l-псевдоплан является расширенным оптимальным планом задачи (L^,C). Если T₀ не является допустимой, то переходим к 1-ой итерации .

p-я итерация. (p1). Задана целочисленная и L-нормальная, но недопустимая таблица . Столбцы обозначаем . Находим первую по номеру компоненту , нарушающую допустимость таблицы ,

(1)

Если числа , то задача (L^,C) неразрешима.

Построение целочисленного отсечения в третьем алгоритме Гомори

Если же среди чисел есть отрицательные, то выбираем ведущий столбец :

(2)

и строим целочисленное правильное отсечение:

; x_n+p 0, x_n+p – целое. (3)

Строка x_n+p приписывается снизу к таблице, принимается за направляющую и проделывается одна итерация L-метода.

Переменная x_n+p – выводится из базиса, а x_l – вводится. Стока x_n+p вычёркивается. Если ln+1, то строку x_l не восстанавливаем. Получаем новую таблицу:

целочисленную и l-нормальную.

. Если таблица T_p окажется допустимой, то вектор является расширенным оптимальным планом задачи (L^,C). Если T_p – недопустима, то переходим к (p+1) итерации.

Выбор  в третьем алгоритме Гомори

При выборе  соблюдаются следующие условия:

1. Направляющий элемент равен (-1):

(4)

2. Следующая таблица T_p должна быть l-нормальной:

(5)

- все остальные столбцы.

3. Столбец R₀^P должен быть l-минимальным:

(6)

Замечание.

Т. к. направляющий элемент равен (-1) и , то . Из 1 следует положительность, т. к. .

Как найти  из условий (4-6). Условие 4 можно переписать следующим образом , или (4’)

Условие (5) также можно упростить. Если , и условие (5) выполняется при любом (положительном) .

Т.о. достаточно рассматривать те , для которых . Теперь, пусть

Из (2) (т.е. из того, что - l мин-й столбец) следует:

Если h(j)<h(l) , то, очевидно, что при любом 

.

Следовательно, достаточно рассмотреть лишь те , для которых и h(j)=h(l).

Обозначим множество таких j через :

Теперь условие (5) можно переписать следующим образом:

(5^')

Если множество - пусто, то условие (5^') не накладывает никаких ограничений на (положительное) . Допустим, что множество не пусто. Тогда для каждого можно найти такое натуральное число z_j , что

Заметим, что ни при каком z.

Действительно, если , то

Но это невозможно, поскольку направляющие элементы у нее все время равны (-1). Поэтому получим

Возможны четыре случая:

1) , в этом случае: ;

2) , здесь q и r – натуральные, ;

в этом случае: ;

3) , здесь натуральное q2. В этом случае ;

4) ,здесь натуральное q2. В этом случае .

Вычислив z_i , можно переписать (5^') следующим образом:

или

.

И наконец, т.к. и что условие (6) можно переписать следующим образом: (6^')

Из 4^',5^'',6^' получаем: (7^')