Третий алгоритм Гомори (полностью целочисленный)

Реализация на ЭВМ 1-го и 2-го алгоритмов Гомори может привести к неправильному результату из-за ошибок округления или ошибок при подсчёте дробных частей.

Третий алгоритм Гомори свободен от влияния ошибок округления. Он предназначен для решения полностью целочисленной задачи линейного программирования.

;

;

; целые.

Схема 3-го алгоритма Гомори аналогична схемам, рассмотренным ранее. Отправляясь от начальной L-нормальной таблицы T₀, с помощью итераций L-метода получают последовательность таблиц T₀,T₁,…, T_s , последняя из которых является допустимой. Третий алгоритм называют ещё полностью целочисленным. Начальная таблица T₀ строится полностью целочисленная, а затем отыскивается целочисленное правильное отсечение. Дробные числа в следующей таблице получаются из-за присутствия в формулах преобразования операции деления. В этом случае целочисленность новой таблицы может быть гарантирована лишь в том случае, если разрешающий элемент будет равен (-1). Это и делается в 3-ем алгоритме Гомори при построении отсечения. Его строят так, чтобы разрешающий элемент был (-1).

Формулировка целочисленного правильного отсечения звучит следующим образом.

Пусть - недопустимая целочисленная таблица, L-нормальная. Тогда должно удовлетворять следующим условиям:

1. Условие целочисленности : r_j -целое, jN⁰.

2. Условие отсечения : z(x )=r₀0 .

3. Условие правильности. Для любого плана x задачи (L^,C) выполняется неравенство z(x )0.

4. Условие сохранения целочисленности. Если среди чисел r_j (jN) есть отрицательные и - столбец матрицы T_j (jN) и , то r_l = -1.

Это значит, что если строчка z(x ) выбирается в качестве направляющей, то направляющий элемент равен (-1).

Алгоритм определения оптимального плана можно выразить следующим образом. Начинают с походной недопустимой таблицы T₀.Затем построив правильное целочисленное отсечение, удовлетворяющее условиям 1-4, переходят к таблице T₁, затем к T₂, и т.д. пока не получат допустимую таблицу. Как и прежде используются итерации L-метода, ограничения, полученные из сформулированного отсечения приписываются снизу к соответствующей таблице. Вся последовательность таблиц, формируемая в процессе решения, является целочисленной и L-нормальной.

Построение целочисленного правильного отсечения для 3-го алгоритма Гомори.

Главное для 3-го алгоритма являетя построение отсечения, гарантирующего целочисленность следующей симплексной таблицы. Необходимо подчеркнуть, что 3-ий алгоритм применяется к таблице T₀(исходной), если она L-нормальна и целочисленна, т.е. все её коэффициенты целые. Следовательно, предварительно необходимо получить такую таблицу. КАК?

Целочисленное правильное отсечение строится на основании следующей теоремы.

Теорема: пусть 0, , где M – конечное множество.

(*) , где [ ] обозначают целую часть числа;

, - целое , .

Тогда z0; z – целое.

Доказательство: целочисленность z получается прямо из выражения для него(*), где справа только целые величины и нет операций деления.{y_j-целые, а [ ]… }. Необходимо показать неотрицательность. Допустим, что z<0, тогда из целочисленности z следует, что z -1. С другой стороны,

, а это можно представить в виде:

, где { } – дробная часть.

Из этого и из того, что z -1, получаем: , а это невозможно, т.к. - всегда неотрицательна.

Теорема доказана.

Используя теорему, можно построить целочисленное правильное отсечение, удовлетворяющее условиям 1-4.

Пусть задана целочисленная, недопустимая и L-нормальная таблица.

и пусть для некоторого k (1kn) x_k0<0.

Положим M=N,

, так что и получим целочисленное правильное отсечение: , z  0, z-целое.