Второй алгоритм Гомори для решения частично целочисленной задачи линейного программирования

Он имеет дело с более широким классом задач. Рассматривается частично целочисленная задача линейного программирования.

Теорема: Пусть последовательность – оптимальный опорный план задачи и , , ,

(где = {0, 1, …, n}, = {индексы небазисных переменных}) – соответствующая симплексная таблица, , – не целое.

Тогда неравенство , (1)

или, что то же самое, (2)

(3)

является правильным отсечением. Здесь

, (4)

(5)

Доказательство:

1. Проверим условие отсечения. Действительно

  (;/  

(не удовлетворяется) и условие отсечения выполнено.

2. Проверяем условие правильности (если  – план задачи  – то он удовлетворяет неравенству). Выпишем разложение по небазисным переменным .

Пусть

где –  некоторые целые числа, величины которых будут выбраны позже. Тогда

,

— целое.

Введём обозначения

,

.

Заметим, что , (6)

. (7)

(Это из того, что  – план задачи).

Эти неравенства можно переписать в следующем виде.

, (8)

. (9)

Далее получаем , – целое.

Возможны два случая:

1. ,

2. .

Случай 1. . Тогда

и в силу нецелочисленности ,

а в силу целочисленности , ,

так что

или из (9) (т.к. ).

Это неравенство можно записать в следующем виде (умножить и поделить)

. (10).

Случай 2.

.

Имеем ,

а в силу целочисленности , ,

так что .

Отсюда и из (6) ( ) получаем . (11)

Объединив в случае 1 неравенства (10) и (9), а в случае 2 –неравенства (11) и (8) получим

или, что то же самое, . (12)

Неравенство (12) имеет вид ,

где   0, причём ( ), а правая часть не зависит от выбора . Следовательно, каждое из чисел следует выбирать так, чтобы было наименьшим – в этом случае будет “отсечена” как можно большая часть многогранника.

Так как , , ,

так что

Сразу можно выделить случай, когда – целое число. Можно положить и тогда

=0.

Это минимум , т.к.   0. Теперь допустим, что –  не целое. Тогда

,

(напомним,  — целые). Какое из этих надо выбрать? Естественно, минимальное. Учитывая условие минимальности, получаем .

Рассмотрим линейную функцию , (0  x  1),

,

,  = 0 < 1, т.е.

Таким образом

Окончательно получаем:

Правило построения правильного отсечения: Пусть не удовлетворяет условию целочисленности и – соответствующая ему симплексная таблица.

Выбираем

(i  {1, …, n₁}) и i  {0,1, …, n₁} если гарантирована целочисленность целевой функции) и строим правильное отсечение   0; .

и определяется по (4) и (5) при .

Что важно, не требуется, чтобы было целым.

С помощью второго алгоритма можно решать и полностью целочисленные задачи ( ). Но в этом случае нельзя сравнивать его по эффективности с первым.

Пример. Тот же пример (при всех целых)

при , , 4,  0, .

– целые.

Третья таблица:

	1
=	7	1	0
=	40/9	5/9	1/9
=	23/9	4/9	–1/9
=	1	–6	1
=	0	–1	0
=	0	0	–1
=	–20/45	–16/45	–5/45

, , , ,  – целые, на и последующие переменные, связанные с отсечениями, требование целочисленности не накладывается.

Отсечение строится по строке для :

;

.

			1
	=		7		1			0
	=		4		1/5			1
	=		3		4/5			–1
	=		–3		–46/5			9
	=		0		–1			0
	=		4		16/5			–9

	1
=	307/46	5/46	45/46
=	184/46	1/46	55/46
=	63/23	2/23	–5/23
=	0	–1	0
=	15/46	–5/46	–45/46
=	68/23	8/23	–135/23
=	–31/46	–5/46	–45/46

Отсечение строится по строке . Так как 5/46 < 31/46, . На не наложено требование целочисленности, следовательно,

	1
=	6	1	0
=	19/5	1/5	1
=	11/5	4/5	–1
=	31/5	–46/45	9
=	1	–1	0
=	4/5	16/5	–9
=	–4/5	–1/5	–1

Отсечение строится по строке . На и не наложено требование целочисленности.

	–1
=	6	1	0
=	3	0	1
=	3	1	–1
=	–1	–11	9
=	1	–1	0
=	8	5	–9

Таблица недопустима.

	1
=	65/11	1/11	9/11
=	3	0	1
=	32/11	1/11	–2/11
=	0	–1	0
=	12/11	–1/11	–9/11
=	83/11	5/11	–54/11
=	–10/11	–1/11	–9/11

Так как 1/11 < 10/11, . На   не наложено требование целочисленности: 9/11 > 0.

	1
=	5	1	0
=	3	0	1
=	2	1	–1
=	10	–11	9
=	2	–1	0
=	3	5	–3

Найден оптимальный план.